関数 $f(x) = \sqrt{x}$、区間 $[a, b] = [0, 16]$ について、平均値の定理を満たす $c$ の値を求める問題です。つまり、$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$ を満たす $0 < c < 16$ となる $c$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{x}$、区間 $[a, b] = [0, 16]$ について、平均値の定理を満たす $c$ の値を求める問題です。つまり、$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$ を満たす $0 < c < 16$ となる $c$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \sqrt{x}$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f(x) = x^{\frac{1}{2}}$ なので、$f'(x) = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ となります。

次に、$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ を計算します。$a = 0$、$b = 16$ なので、

$\frac{f(16) - f(0)}{16 - 0} = \frac{\sqrt{16} - \sqrt{0}}{16} = \frac{4 - 0}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ となります。

平均値の定理より、$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ なので、

$\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{1}{4}$ となります。

この式を解いて $c$ を求めます。

$2\sqrt{c} = 4$

$\sqrt{c} = 2$

$c = 2^2 = 4$

$0 < c < 16$ を満たしているか確認します。$0 < 4 < 16$ なので、条件を満たしています。

3. 最終的な答え

c = 4