関数 $y = \frac{x+1}{x^2 + x + 1}$ の極値を求め、極大値と極小値、およびそれぞれの極値を与える $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x+1}{x^2 + x + 1}$ の極値を求め、極大値と極小値、およびそれぞれの極値を与える $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y$ を $x$ で微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = \frac{(x^2 + x + 1)(1) - (x+1)(2x+1)}{(x^2 + x + 1)^2} = \frac{x^2 + x + 1 - (2x^2 + 3x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2} = \frac{-x^2 - 2x}{(x^2 + x + 1)^2} = \frac{-x(x+2)}{(x^2 + x + 1)^2}$

次に、$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{-x(x+2)}{(x^2 + x + 1)^2} = 0$

分子がゼロになる場合を探せばよいので、$-x(x+2) = 0$ となり、$x = 0$ または $x = -2$ が得られます。

これらの $x$ の値の前後で $y'$ の符号を調べます。

- $x < -2$ のとき、$y' < 0$ （例：$x = -3$ なら $y' = \frac{-(-3)(-3+2)}{(9-3+1)^2} = \frac{-3}{49} < 0$）

- $-2 < x < 0$ のとき、$y' > 0$ （例：$x = -1$ なら $y' = \frac{-(-1)(-1+2)}{(1-1+1)^2} = \frac{1}{1} = 1 > 0$）

- $x > 0$ のとき、$y' < 0$ （例：$x = 1$ なら $y' = \frac{-1(1+2)}{(1+1+1)^2} = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3} < 0$）

したがって、$x = -2$ で極小値をとり、$x = 0$ で極大値をとることがわかります。

$x = -2$ のとき、$y = \frac{-2+1}{(-2)^2 + (-2) + 1} = \frac{-1}{4 - 2 + 1} = \frac{-1}{3}$ が極小値です。

$x = 0$ のとき、$y = \frac{0+1}{0^2 + 0 + 1} = \frac{1}{1} = 1$ が極大値です。

3. 最終的な答え

極大値 1 ($x = 0$ のとき)

極小値 $-\frac{1}{3}$ ($x = -2$ のとき)