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(1) 504の正の約数の個数を求める。 (2) 999までの3桁の自然数のうち、百の位、十の位、一の位の数字に同じ数字が2つ以上含まれるものの個数を求める。

数論約数素因数分解場合の数数え上げ整数
2025/3/21

1. 問題の内容

(1) 504の正の約数の個数を求める。
(2) 999までの3桁の自然数のうち、百の位、十の位、一の位の数字に同じ数字が2つ以上含まれるものの個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 504の正の約数の個数を求める。
504を素因数分解する。
504=23×32×71504 = 2^3 \times 3^2 \times 7^1
約数の個数は、各素因数の指数に1を加えて掛け合わせたものである。
(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24(3+1) \times (2+1) \times (1+1) = 4 \times 3 \times 2 = 24
(2) 999までの3桁の自然数のうち、百の位、十の位、一の位の数字に同じ数字が2つ以上含まれるものの個数を求める。
3桁の自然数は100から999までの整数である。
同じ数字が2つ以上含まれる場合を考える。
(i) 3つの数字が全て同じ場合: 111, 222, ..., 999 の9個
(ii) 2つの数字が同じ場合:
百の位と十の位が同じ場合: 110, 112, ..., 119 (ただし111は除く) → 9個
百の位と一の位が同じ場合: 101, 121, ..., 981, 991 (ただし111は除く) → 9個
十の位と一の位が同じ場合: 100, 122, ..., 988, 999 (ただし111は除く) → 9個
上記(i)と(ii)で重複して数えたものはないので、合計は 9+9×3=9+27=369 + 9 \times 3 = 9+27=36個

3. 最終的な答え

(1) 24
(2) 36

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