3つの異なる複素数 $\alpha, \beta, \gamma$ に対して、等式 $\gamma^3 - 3\gamma^2\alpha + 3\gamma\alpha^2 - \alpha^3 = -8(\beta^3 - 3\beta^2\alpha + 3\beta\alpha^2 - \alpha^3)$ が成り立つとき、次の問いに答えます。 (1) $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ の値を求めます。 (2) 複素数平面上の3点 A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$) が同一直線上にないとき、それらを頂点とする三角形ABCはどのような三角形であるか答えます。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

3つの異なる複素数 $\alpha, \beta, \gamma$ に対して、等式 $\gamma^3 - 3\gamma^2\alpha + 3\gamma\alpha^2 - \alpha^3 = -8(\beta^3 - 3\beta^2\alpha + 3\beta\alpha^2 - \alpha^3)$ が成り立つとき、次の問いに答えます。

(1) $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ の値を求めます。

(2) 複素数平面上の3点 A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$) が同一直線上にないとき、それらを頂点とする三角形ABCはどのような三角形であるか答えます。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた等式を整理します。

$\gamma^3 - 3\gamma^2\alpha + 3\gamma\alpha^2 - \alpha^3 = -8(\beta^3 - 3\beta^2\alpha + 3\beta\alpha^2 - \alpha^3)$

$(\gamma - \alpha)^3 = -8(\beta - \alpha)^3$

$(\gamma - \alpha)^3 = (-2(\beta - \alpha))^3$

両辺の3乗根をとると、

$\gamma - \alpha = -2(\beta - \alpha)$ または

$\gamma - \alpha = -2(\beta - \alpha) \omega$ または

$\gamma - \alpha = -2(\beta - \alpha) \omega^2$

ここで $\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$ は1の虚立方根です。

よって、

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = -2$ または

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = -2\omega$ または

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = -2\omega^2$

(2) (1)の結果から、

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = -2$ のとき、$\gamma - \alpha = -2(\beta - \alpha)$ より、$\gamma = -2\beta + \alpha$. このとき3点$\alpha, \beta, \gamma$は同一直線上に並ぶので条件を満たしません。

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = -2\omega$ のとき、$\gamma - \alpha = -2\omega(\beta - \alpha)$ となり、$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ は純虚数ではないので、三角形ABCは正三角形ではない。

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = -2\omega^2$ のとき、$\gamma - \alpha = -2\omega^2(\beta - \alpha)$ となり、$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ は純虚数ではないので、三角形ABCは正三角形ではない。

$|\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}| = |-2\omega| = |-2\omega^2| = 2$より、$AC = 2AB$

$arg(\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}) = arg(-2\omega) = arg(-2 \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}) = arg(1 - \sqrt{3}i) = -\frac{\pi}{3}$

$arg(\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}) = arg(-2\omega^2) = arg(-2 \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}) = arg(1 + \sqrt{3}i) = \frac{\pi}{3}$

従って、三角形ABCはABを2倍に拡大し、$\pm \frac{\pi}{3}$回転した点にCがある三角形です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = -2, -2\omega, -2\omega^2$ (ただし、$\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$)

(2) $AB$の長さを2倍にして、$\alpha$の周りに$AB$を$\pm 60$度回転した点が$C$となる三角形