(1) 504 の正の約数の個数を求めよ。 (2) 999 までの3桁の自然数の中で、百の位、十の位、一の位の数字に同じ数字が2つ以上含まれるものの個数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 504 の正の約数の個数を求めよ。

(2) 999 までの3桁の自然数の中で、百の位、十の位、一の位の数字に同じ数字が2つ以上含まれるものの個数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 504 の正の約数の個数を求める。

まず、504 を素因数分解する。

$504 = 2^3 \times 3^2 \times 7^1$

約数の個数は、各素因数の指数のそれぞれに 1 を足したものの積である。

$(3+1) \times (2+1) \times (1+1) = 4 \times 3 \times 2 = 24$

したがって、504 の正の約数の個数は 24 個である。

(2) 999 までの3桁の自然数の中で、百の位、十の位、一の位の数字に同じ数字が2つ以上含まれるものの個数を求める。

3桁の自然数は100から999までである。

まず、3つの位の数字がすべて同じであるものを数える。

111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999 の9個。

次に、3つの位のうち2つの位の数字が同じであるものを数える。

百の位と十の位が同じ場合：

110, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119 (9個)

220, 221, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229 (9個)

...

990, 991, 992, 993, 994, 995, 996, 997, 998 (9個)

合計 $9 \times 9 = 81$ 個。

百の位と一の位が同じ場合：

101, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191 (9個)

202, 212, 232, 242, 252, 262, 272, 282, 292 (9個)

...

909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989 (9個)

合計 $9 \times 9 = 81$ 個。

十の位と一の位が同じ場合：

100, 111, 122, 133, 144, 155, 166, 177, 188, 199 (10個)

200, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299 (10個)

...

900, 911, 922, 933, 944, 955, 966, 977, 988, 999 (10個)

合計 $9 \times 10 = 90$ 個。

3つの位がすべて同じものは3つの場合すべてに含まれているので、

$81 + 81 + 90 - 2 \times 9 = 252 - 18 = 234$ 個。

さらに、3つの位がすべて同じ場合である 111, 222, ..., 999 の 9個を足すことで重複を除く。

$81 + 81 + 90 - 2*9 = 234$

この方法だと、すべて同じ数字の場合を3回カウントし、重複を除くために同じ数字のものが2つの場合を2回引いている。そのため、最後にすべて同じ数字の場合の9個を足す必要がある。

よって、求める個数は $234+9=100-9+90-9=261-171 +81 +81 +90-9*2=24$

別解：

すべての3桁の数字から、3つの数字がすべて異なるものを引く。

3桁の数は100から999の900個である。

3つの数字がすべて異なる数は、百の位が1から9の9通り、十の位が0から9の10通りから百の位の数字を除いた9通り、一の位が0から9の10通りから百の位と十の位の数字を除いた8通りなので、 $9 \times 9 \times 8 = 648$。

$900 - 648 = 252$

3. 最終的な答え

(1) 24 個

(2) 252 個