問題2は、以下の2つの部分から構成されます。 (1) 整数 $a$ の平方 $a^2$ が3の倍数ならば、$a$ は3の倍数であることを利用して、$\sqrt{3}$ が無理数であることを証明する。 (2) 次の等式を満たす有理数 $a, b$ の値を求める。 $a - 3 + (2 - b)\sqrt{3} + \sqrt{3}(a - 2b\sqrt{3}) = 0$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題2は、以下の2つの部分から構成されます。

(1) 整数 $a$ の平方 $a^2$ が3の倍数ならば、$a$ は3の倍数であることを利用して、$\sqrt{3}$ が無理数であることを証明する。

(2) 次の等式を満たす有理数 $a, b$ の値を求める。

$a - 3 + (2 - b)\sqrt{3} + \sqrt{3}(a - 2b\sqrt{3}) = 0$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{3}$ が無理数であることの証明

背理法を用いて証明します。

* $\sqrt{3}$ が有理数であると仮定する。つまり、互いに素な整数 $m, n$ ($n \neq 0$) を用いて、$\sqrt{3} = \frac{m}{n}$ と表せると仮定する。

* 両辺を2乗すると、

$3 = \frac{m^2}{n^2}$

$3n^2 = m^2$

$m^2$ は3の倍数である。

* 問題文の条件より、$m^2$ が3の倍数ならば、$m$ は3の倍数である。したがって、$m = 3k$ ($k$ は整数) と表せる。

* $3n^2 = m^2$ に $m = 3k$ を代入すると、

$3n^2 = (3k)^2$

$3n^2 = 9k^2$

$n^2 = 3k^2$

$n^2$ は3の倍数である。

* したがって、$n$ も3の倍数である。

* $m$ も $n$ も3の倍数であることから、$m$ と $n$ は互いに素であるという仮定に矛盾する。

* よって、$\sqrt{3}$ は無理数である。

(2) 等式を満たす有理数 $a, b$ の値を求める

$a - 3 + (2 - b)\sqrt{3} + \sqrt{3}(a - 2b\sqrt{3}) = 0$

$a - 3 + (2 - b)\sqrt{3} + a\sqrt{3} - 2b(3) = 0$

$a - 3 + (2 - b)\sqrt{3} + a\sqrt{3} - 6b = 0$

$(a - 3 - 6b) + (2 - b + a)\sqrt{3} = 0$

$a, b$ は有理数なので、$a - 3 - 6b$ も $2 - b + a$ も有理数である。

$\sqrt{3}$ は無理数なので、上の等式が成り立つためには、

$a - 3 - 6b = 0$

$2 - b + a = 0$

この連立方程式を解く。

$a = 3 + 6b$ を $2 - b + a = 0$ に代入すると、

$2 - b + (3 + 6b) = 0$

$5 + 5b = 0$

$b = -1$

$a = 3 + 6(-1) = 3 - 6 = -3$

したがって、$a = -3, b = -1$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}$ は無理数である。（証明は上記参照）

(2) $a = -3, b = -1$