複素数 $z$ について、以下の2つの問題に答える。 (1) $z$ の虚部が 0 でなく、$z + \frac{1}{z}$ が実数となるような $z$ が複素数平面上で描く図形を求めよ。 (2) $w = (z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i)^4$ とおくとき、$w$ の絶対値と偏角の取り得る値の範囲をそれぞれ求めよ。ただし、偏角は $0$ 以上 $2\pi$ 未満とする。

1. 問題の内容

複素数 $z$ について、以下の2つの問題に答える。

(1) $z$ の虚部が 0 でなく、$z + \frac{1}{z}$ が実数となるような $z$ が複素数平面上で描く図形を求めよ。

(2) $w = (z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i)^4$ とおくとき、$w$ の絶対値と偏角の取り得る値の範囲をそれぞれ求めよ。ただし、偏角は $0$ 以上 $2\pi$ 未満とする。

2. 解き方の手順

(1) $z = x + yi$ ($x, y$ は実数, $y \ne 0$) とおく。

$z + \frac{1}{z}$ が実数であるとき、その虚部が 0 であるから、

$\mathrm{Im}\left( z + \frac{1}{z} \right) = 0$

$\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z \bar{z}} = \frac{x-yi}{x^2+y^2}$ なので、

$\mathrm{Im}\left( x+yi + \frac{x-yi}{x^2+y^2} \right) = y - \frac{y}{x^2+y^2} = 0$

$y(1 - \frac{1}{x^2+y^2}) = 0$

$y \ne 0$ より $1 - \frac{1}{x^2+y^2} = 0$

$x^2 + y^2 = 1$

これは、原点中心、半径 1 の円を表す。ただし、$z$ の虚部は 0 ではないので、$z = 1, -1$ を除く。

(2) $w = (z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i)^4$

$z$ は $|z| = 1$ を満たすから $z = \cos\theta + i \sin\theta$ ($0 < \theta < \pi$, $\pi < \theta < 2\pi$) とおける。

$z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i = (\cos\theta + \sqrt{2}) + i(\sin\theta + \sqrt{2})$

絶対値は $|z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i| = \sqrt{(\cos\theta + \sqrt{2})^2 + (\sin\theta + \sqrt{2})^2} = \sqrt{\cos^2\theta + 2\sqrt{2}\cos\theta + 2 + \sin^2\theta + 2\sqrt{2}\sin\theta + 2} = \sqrt{5 + 2\sqrt{2}(\cos\theta + \sin\theta)}$

$\cos\theta + \sin\theta = \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ より、

$\sqrt{5 + 4\sin(\theta + \frac{\pi}{4})}$ となる。

$\theta$ の範囲は $0 < \theta < \pi$, $\pi < \theta < 2\pi$ であるから、$\frac{\pi}{4} < \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{4}$ または $\frac{5\pi}{4} < \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$

したがって $-1 \le \sin(\theta+\frac{\pi}{4}) \le 1$

よって $|z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i| \in [\sqrt{5-4}, \sqrt{5+4}] = [1,3]$

偏角は $\arg(z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i) = \arctan\left(\frac{\sin\theta + \sqrt{2}}{\cos\theta + \sqrt{2}}\right)$

$w = (z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i)^4$ なので、

$|w| = |z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i|^4$ なので、 $1 \le |w| \le 81$

$\arg w = 4 \arg (z + \sqrt{2} + \sqrt{2} i)$.

$\sqrt{2}+\sqrt{2}i$ を考えると、これは $2 e^{i \pi/4}$ である。

$z = e^{i\theta}$ とすると、

$z + \sqrt{2}+\sqrt{2}i = e^{i\theta} + 2 e^{i \pi/4}$

$\theta = \pi/2$ 付近では $z = i$ なので $i + \sqrt{2} + \sqrt{2} i = \sqrt{2} + (\sqrt{2}+1) i$. この偏角は 0 と $\pi/2$ の間にある。

$\arg(w) = 4\arg(z+\sqrt{2}+\sqrt{2}i)$

$0 < \theta < \pi$ では $0 < \arg z < \pi$

$\pi < \theta < 2\pi$ では $\pi < \arg z < 2\pi$

$\theta$ が 0 に近づくと、$\arg(w)$ は 0 に近づく。$\theta$ が $\pi$ に近づくと、$\arg(w)$ は $4\pi$ を超える可能性がある。

$z \neq \pm 1$ であることに注意。

最終的に $w$ の絶対値の範囲は $1 \le |w| \le 81$ となる。

偏角の範囲は $0 \le \arg w < 2 \pi$.

3. 最終的な答え

(1) 原点中心、半径 1 の円。ただし、$z = 1, -1$ を除く。

(2) 絶対値の範囲: $1 \le |w| \le 81$

偏角の範囲: $0 \le \arg w < 2\pi$