2次関数 $y = x^2 - 2x + 2$ において、定義域 $4 \le x \le 6$ における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2x + 2$ において、定義域 $4 \le x \le 6$ における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 - 1 + 2 = (x - 1)^2 + 1$

この2次関数は、頂点が $(1, 1)$ で、下に凸の放物線である。

定義域 $4 \le x \le 6$ の範囲で、最大値と最小値を考える。

最小値は、$x = 4$ のときである。

$y = (4 - 1)^2 + 1 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$

最大値は、$x = 6$ のときである。

$y = (6 - 1)^2 + 1 = 5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$

したがって、最大値は $26$ ($x = 6$ のとき)、最小値は $10$ ($x = 4$ のとき)。

3. 最終的な答え

最大値：26 ($x = 6$ のとき)

最小値：10 ($x = 4$ のとき)