与えられた2つの一次不定方程式の整数解をすべて求める問題です。 (1) $33x + 70y = 1$ (2) $58x + 47y = 1$

1. 問題の内容

与えられた2つの一次不定方程式の整数解をすべて求める問題です。

(1) $33x + 70y = 1$

(2) $58x + 47y = 1$

2. 解き方の手順

(1) $33x + 70y = 1$ を解く。

まず、特殊解をユークリッドの互除法を用いて求める。

$70 = 33 \cdot 2 + 4$

$33 = 4 \cdot 8 + 1$

$1 = 33 - 4 \cdot 8$

$1 = 33 - (70 - 33 \cdot 2) \cdot 8$

$1 = 33 - 70 \cdot 8 + 33 \cdot 16$

$1 = 33 \cdot 17 + 70 \cdot (-8)$

よって、$x = 17, y = -8$ が特殊解である。

したがって、$33 \cdot 17 + 70 \cdot (-8) = 1$

$33x + 70y = 1$ から、$33 \cdot 17 + 70 \cdot (-8) = 1$ を引くと、

$33(x - 17) + 70(y + 8) = 0$

$33(x - 17) = -70(y + 8)$

33と70は互いに素なので、$x - 17 = 70k, y + 8 = -33k$ (kは整数) とおける。

$x = 70k + 17$

$y = -33k - 8$

(2) $58x + 47y = 1$ を解く。

まず、特殊解をユークリッドの互除法を用いて求める。

$58 = 47 \cdot 1 + 11$

$47 = 11 \cdot 4 + 3$

$11 = 3 \cdot 3 + 2$

$3 = 2 \cdot 1 + 1$

$1 = 3 - 2 \cdot 1$

$1 = 3 - (11 - 3 \cdot 3) \cdot 1$

$1 = 3 - 11 + 3 \cdot 3$

$1 = 3 \cdot 4 - 11$

$1 = (47 - 11 \cdot 4) \cdot 4 - 11$

$1 = 47 \cdot 4 - 11 \cdot 16 - 11$

$1 = 47 \cdot 4 - 11 \cdot 17$

$1 = 47 \cdot 4 - (58 - 47) \cdot 17$

$1 = 47 \cdot 4 - 58 \cdot 17 + 47 \cdot 17$

$1 = 47 \cdot 21 - 58 \cdot 17$

$1 = 58 \cdot (-17) + 47 \cdot 21$

よって、$x = -17, y = 21$ が特殊解である。

したがって、$58 \cdot (-17) + 47 \cdot 21 = 1$

$58x + 47y = 1$ から、$58 \cdot (-17) + 47 \cdot 21 = 1$ を引くと、

$58(x + 17) + 47(y - 21) = 0$

$58(x + 17) = -47(y - 21)$

58と47は互いに素なので、$x + 17 = 47k, y - 21 = -58k$ (kは整数) とおける。

$x = 47k - 17$

$y = -58k + 21$

3. 最終的な答え

(1) $x = 70k + 17$, $y = -33k - 8$ (kは整数)

(2) $x = 47k - 17$, $y = -58k + 21$ (kは整数)