与えられた積分で定義された関数を微分する問題です。具体的には、以下の2つの関数を$x$について微分する必要があります。 (1) $y = \int_{0}^{x} 4e^t \sin t \, dt$ (2) $F(x) = \int_{0}^{x} (x-t) \sin t \, dt$

1. 問題の内容

与えられた積分で定義された関数を微分する問題です。具体的には、以下の2つの関数を$x$について微分する必要があります。

(1) $y = \int_{0}^{x} 4e^t \sin t \, dt$

(2) $F(x) = \int_{0}^{x} (x-t) \sin t \, dt$

2. 解き方の手順

(1) 微分積分の基本定理を用いると、

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \, dt = f(x)$

したがって、

$y' = \frac{d}{dx} \int_{0}^{x} 4e^t \sin t \, dt = 4e^x \sin x$

(2) まず、$F(x)$を以下のように変形します。

$F(x) = \int_{0}^{x} (x-t) \sin t \, dt = \int_{0}^{x} (x\sin t - t\sin t) \, dt = x\int_{0}^{x} \sin t \, dt - \int_{0}^{x} t\sin t \, dt$

次に、ライプニッツの積分法則（または積の微分法則と微積分学の基本定理）を使って微分します。

$F'(x) = \frac{d}{dx} \left[ x\int_{0}^{x} \sin t \, dt - \int_{0}^{x} t\sin t \, dt \right]$

$F'(x) = \int_{0}^{x} \sin t \, dt + x \frac{d}{dx} \int_{0}^{x} \sin t \, dt - \frac{d}{dx} \int_{0}^{x} t\sin t \, dt$

$F'(x) = \int_{0}^{x} \sin t \, dt + x\sin x - x\sin x = \int_{0}^{x} \sin t \, dt$

$F'(x) = [-\cos t]_0^x = -\cos x - (-\cos 0) = -\cos x + 1 = 1 - \cos x$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 4e^x \sin x$

(2) $F'(x) = 1 - \cos x$