与えられた定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{2+\cos x} dx$ (2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{2+\cos x} dx$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x dx$

2. 解き方の手順

(1)

$t = 2+\cos x$ と置換すると、 $dt = -\sin x dx$ となります。

積分範囲も変わり、 $x=0$ のとき $t = 2+\cos 0 = 2+1 = 3$, $x=\pi$ のとき $t = 2+\cos \pi = 2-1 = 1$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{2+\cos x} dx = \int_{3}^{1} \frac{-1}{t} dt = \int_{1}^{3} \frac{1}{t} dt = [\log t]_{1}^{3} = \log 3 - \log 1 = \log 3 - 0 = \log 3$

(2)

$u = \sin x$ と置換すると、 $du = \cos x dx$ となります。

積分範囲も変わり、$x=0$ のとき $u=\sin 0 = 0$, $x=\frac{\pi}{2}$ のとき $u = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x dx = \int_{0}^{1} u^2 du = [\frac{1}{3}u^3]_{0}^{1} = \frac{1}{3}(1^3 - 0^3) = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\log 3$

(2) $\frac{1}{3}$