与えられた多項式 $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$3x^2 + (13 - 14y)x + (15y^2 - 23y + 4)$

定数項 $15y^2 - 23y + 4$ を因数分解します。

$15y^2 - 23y + 4 = (3y - 4)(5y - 1)$

与式を因数分解した結果を $(ax + by + c)(dx + ey + f)$ と仮定します。

$3x^2 + (13 - 14y)x + (3y - 4)(5y - 1)$

$3x^2$ の係数が 3 なので、$a = 3, d = 1$ とします。

$(3x + by + c)(x + ey + f)$

定数項を考えると、$(3y - 4)(5y - 1)$ なので、$b = -5, e = -3$ であり、$c = -1, f = -4$ または $c = -4, f = -1$ となります。

したがって、$(3x - 5y + c)(x - 3y + f)$ となります。

$(3x - 5y + c)(x - 3y + f) = 3x^2 - 9xy + 3fx - 5xy + 15y^2 - 5fy + cx - 3cy + cf$

$= 3x^2 - 14xy + 15y^2 + (3f + c)x + (-5f - 3c)y + cf$

$x$ の係数 $3f + c = 13$, $y$ の係数 $-5f - 3c = -23$, 定数項 $cf = 4$ となります。

(i) $c = -1, f = -4$ の場合:

$3(-4) + (-1) = -12 - 1 = -13 \neq 13$ なので、これは違います。

(ii) $c = -4, f = -1$ の場合:

$3(-1) + (-4) = -3 - 4 = -7 \neq 13$ なので、これも違います。

符号を反転させて、$(3x - 5y + c)(x - 3y + f)$ を $(3x - 5y + c)(x - 3y + f) = (3x - 5y + A)(x - 3y + B)$ として、$AB = 4$ を満たす整数 $A, B$ を探します。

$x$ の係数は $3B + A = 13$ であり、$y$ の係数は $-5B - 3A = -23$ であります。

$3B + A = 13$ より $A = 13 - 3B$。これを $-5B - 3A = -23$ に代入すると、

$-5B - 3(13 - 3B) = -23$

$-5B - 39 + 9B = -23$

$4B = 16$

$B = 4$

$A = 13 - 3(4) = 1$

$AB = 1 \cdot 4 = 4$

したがって、$(3x - 5y + 1)(x - 3y + 4)$ が答えとなります。

3. 最終的な答え

$(3x - 5y + 1)(x - 3y + 4)$