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定積分 $\int_0^1 e^{-x} dx$ の値を求め、与えられた形式 $-\frac{(7)}{e}(a)(4)$ に合うように空白を埋める。

解析学定積分指数関数積分
2025/3/21

1. 問題の内容

定積分 ∫01e−xdx\int_0^1 e^{-x} dx の値を求め、与えられた形式 −(7)e(a)(4)-\frac{(7)}{e}(a)(4) に合うように空白を埋める。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 ∫e−xdx\int e^{-x} dx を求める。
e−xe^{-x} の積分は −e−x-e^{-x} なので、
∫e−xdx=−e−x+C\int e^{-x} dx = -e^{-x} + C （Cは積分定数）
次に、定積分 ∫01e−xdx\int_0^1 e^{-x} dx を計算する。
∫01e−xdx=[−e−x]01=−e−1−(−e−0)=−e−1+1=1−1e=e−1e\int_0^1 e^{-x} dx = [-e^{-x}]_0^1 = -e^{-1} - (-e^{-0}) = -e^{-1} + 1 = 1 - \frac{1}{e} = \frac{e-1}{e}
与えられた形式と比較する。
∫01e−xdx=e−1e=−(−e−1e)\int_0^1 e^{-x} dx = \frac{e-1}{e} = - (-\frac{e-1}{e})
したがって、(7)(7) に入る数は e−1e-1 である。e≈2.718e \approx 2.718 なので、e−1≈1.718e-1 \approx 1.718 となる。しかし、これは整数でなければならないので、問題に誤りがあるか、別の意図がある可能性がある。
しかし、問題の形式に合わせて、(7)(7)に入るのがe−1e-1であると仮定して、残りの部分を計算する。
e−1e=−−(e−1)e=−1−ee\frac{e-1}{e} = - \frac{-(e-1)}{e} = - \frac{1-e}{e}
e−1e\frac{e-1}{e} と −(7)e(a)(4)-\frac{(7)}{e} (a)(4) を比較すると、
e−1e=−1−ee\frac{e-1}{e} = - \frac{1-e}{e}
したがって、(7)=1−e(7) = 1-e であり、これは正しくない。
元の計算に戻り、e−1e\frac{e-1}{e} を変形する。
e−1e=−1−ee\frac{e-1}{e} = - \frac{1-e}{e}
これは −(1−e)e(1)(1)-\frac{(1-e)}{e}(1)(1) と解釈できる。しかし、(7)(7)は整数でなければならない。
仮に∫01e−xdx=e−1e=−1−ee\int_{0}^{1} e^{-x} dx = \frac{e-1}{e} = -\frac{1-e}{e}で、問題の形式に合わせるために整数部分を無理やり作ると、e−1e-1 の整数部分は 11 であるので、(7)=1(7)=1とすると、
−1e(a)(4)=e−1e-\frac{1}{e}(a)(4) = \frac{e-1}{e}
−(a)(4)=e−1-(a)(4) = e-1
(a)(4)=1−e≈−1.718(a)(4) = 1-e \approx -1.718
(a)=1−e4≈−0.4295(a) = \frac{1-e}{4} \approx -0.4295 となる。
しかし、このような解釈では意味のある解答が得られない。
問題文の意図を汲み取り、e−1e=1−1e\frac{e-1}{e} = 1 - \frac{1}{e}と変形し、(7)=1(7) = 1として考える。すると、与えられた形式は、−1e(a)(4)-\frac{1}{e}(a)(4)となるが、これは−e−1(a)(4)-e^{-1}(a)(4)を意味する。
これは意味不明であるため、問題に何らかの誤植があると思われる。
問題文中の形式に合わせることを諦めて、単純に定積分を計算する。
∫01e−xdx=e−1e≈0.632\int_0^1 e^{-x} dx = \frac{e-1}{e} \approx 0.632

3. 最終的な答え

問題文の意図が不明であり、提示された形式で答えを表現することが不可能である。
しかし、定積分の値はe−1e\frac{e-1}{e}である。
もし(7)(7)が整数であるという制約を満たすことを優先するならば、(7)=1(7) = 1としたときに最も近い表現ができる。
∫01e−xdx=e−1e\int_0^1 e^{-x} dx = \frac{e-1}{e}
e−1e\frac{e-1}{e}

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