$x = \sqrt{2} - 1$ のとき、以下の式の値を求める問題です。 (1) $x + \frac{1}{x}$ (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

1. 問題の内容

$x = \sqrt{2} - 1$ のとき、以下の式の値を求める問題です。

(1) $x + \frac{1}{x}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $x + \frac{1}{x}$ を求める。

まず、$\frac{1}{x}$ を計算します。

$x = \sqrt{2} - 1$ なので、

$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{2} + 1$ を掛けます。

$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1$

したがって、

$x + \frac{1}{x} = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} + 1) = 2\sqrt{2}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求める。

$(x + \frac{1}{x})^2$ を展開すると、

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

よって、$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$ となります。

(1)より、$x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{2}$ なので、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (2\sqrt{2})^2 - 2 = 4 \cdot 2 - 2 = 8 - 2 = 6$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{2}$

(2) $6$