カレンダーにおいて、縦2つ、横3つを四角形で囲んだときの四隅の数を$a, b, c, d$ としたとき、$bc-ad$の値について、どのような性質が成り立つかを予想し、説明し、証明する問題。さらに、縦3つ、横2つを四角形で囲んだ場合についても同様に考える。

1. 問題の内容

カレンダーにおいて、縦2つ、横3つを四角形で囲んだときの四隅の数を$a, b, c, d$ としたとき、$bc-ad$の値について、どのような性質が成り立つかを予想し、説明し、証明する問題。さらに、縦3つ、横2つを四角形で囲んだ場合についても同様に考える。

2. 解き方の手順

まず、縦2つ、横3つの四角形で囲んだ場合を考える。カレンダーの例から、いくつか四隅の数字を選び、$bc-ad$の値を計算してみる。

例1: $a=6, b=8, c=13, d=15$ のとき、 $bc-ad = 8 \times 13 - 6 \times 15 = 104 - 90 = 14$

例2: $a=7, b=9, c=14, d=16$ のとき、 $bc-ad = 9 \times 14 - 7 \times 16 = 126 - 112 = 14$

例3: $a=12, b=14, c=19, d=21$ のとき、 $bc-ad = 14 \times 19 - 12 \times 21 = 266 - 252 = 14$

これらの例から、$bc-ad$の値は常に14になることが予想される。

次に、これを証明する。カレンダーにおいて、ある数を$a$とすると、$b=a+2$, $c=a+7$, $d=a+9$ と表せる。

したがって、

$$bc - ad = (a+2)(a+7) - a(a+9)$$

$$= (a^2 + 9a + 14) - (a^2 + 9a)$$

$$= 14$$

よって、$bc-ad$の値は常に14であることが証明された。

次に、縦3つ、横2つを四角形で囲んだ場合を考える。

同様に、カレンダーの例からいくつか四隅の数字を選び、$bc-ad$の値を計算してみる。

例1: $a=5, b=6, c=19, d=20$ のとき、 $bc-ad = 6 \times 19 - 5 \times 20 = 114 - 100 = 14$

例2: $a=6, b=7, c=20, d=21$ のとき、 $bc-ad = 7 \times 20 - 6 \times 21 = 140 - 126 = 14$

これらの例から、$bc-ad$の値は常に14になることが予想される。

ある数を$a$とすると、$b=a+1$, $c=a+14$, $d=a+15$ と表せる。

したがって、

$$bc - ad = (a+1)(a+14) - a(a+15)$$

$$= (a^2 + 15a + 14) - (a^2 + 15a)$$

$$= 14$$

よって、$bc-ad$の値は常に14であることが証明された。

3. 最終的な答え

縦2つ、横3つの四角形で囲んだ場合、$bc-ad$の値は常に14になる。

縦3つ、横2つの四角形で囲んだ場合も、$bc-ad$の値は常に14になる。