関数 $y = \cos x$ （$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}$）と、$x$軸、$x = \frac{\pi}{4}$で囲まれた部分を、$x$軸の周りに1回転してできる回転体の体積$V$を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos x$ （$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}$）と、$x$軸、$x = \frac{\pi}{4}$で囲まれた部分を、$x$軸の周りに1回転してできる回転体の体積$V$を求めます。

2. 解き方の手順

回転体の体積$V$は、以下の式で計算できます。

$V = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx$

ここで、$a = \frac{\pi}{4}$、$b = \frac{\pi}{2}$、$y = \cos x$であるため、

$V = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx$

$\cos^2 x$を半角の公式を使って変形します。

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

したがって、$V$は以下のように書き換えられます。

$V = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2x}{2} dx$

$V = \frac{\pi}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2x) dx$

積分を実行します。

$V = \frac{\pi}{2} [x + \frac{1}{2} \sin 2x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$

$V = \frac{\pi}{2} [(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin \pi) - (\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2})]$

$V = \frac{\pi}{2} [(\frac{\pi}{2} + 0) - (\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2})]$

$V = \frac{\pi}{2} [\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}]$

$V = \frac{\pi}{2} [\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}]$

$V = \frac{\pi}{2} [\frac{\pi - 2}{4}]$

$V = \frac{\pi (\pi - 2)}{8}$

$V = \frac{\pi^2 - 2\pi}{8}$

$V = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$V = \frac{\pi^2 - 2\pi}{8} = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi}{4}$

(1) には8が入り、(2)には4が入ります。