与えられた広義積分 $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^4} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた広義積分 $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^4} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{1}{x^4} dx$ を計算します。

$\frac{1}{x^4} = x^{-4}$ なので、

$\int x^{-4} dx = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$

次に、広義積分を定義に従って計算します。

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^4} dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x^4} dx$

$= \lim_{b \to \infty} \left[-\frac{1}{3x^3}\right]_{1}^{b}$

$= \lim_{b \to \infty} \left(-\frac{1}{3b^3} - \left(-\frac{1}{3(1)^3}\right)\right)$

$= \lim_{b \to \infty} \left(-\frac{1}{3b^3} + \frac{1}{3}\right)$

$b \to \infty$ のとき、$\frac{1}{3b^3} \to 0$ なので、

$= 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^4} dx = \frac{1}{3}$