$y = \cos{x}$ ($ \frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}$) のグラフ、x軸、および$x = \frac{\pi}{4}$ で囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積Vを求める問題です。

1. 問題の内容

$y = \cos{x}$ ($\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}$) のグラフ、x軸、および$x = \frac{\pi}{4}$ で囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積Vを求める問題です。

2. 解き方の手順

回転体の体積Vは、以下の積分で求められます。

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

この問題の場合、$f(x) = \cos{x}$、$a = \frac{\pi}{4}$、$b = \frac{\pi}{2}$ なので、

$V = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2{x} dx$

$\cos^2{x}$ を半角の公式で書き換えます。

$\cos^2{x} = \frac{1 + \cos{2x}}{2}$

したがって、

$V = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos{2x}}{2} dx$

$V = \frac{\pi}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos{2x}) dx$

$V = \frac{\pi}{2} \left[ x + \frac{1}{2} \sin{2x} \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$

$V = \frac{\pi}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin{\pi} \right) - \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \sin{\frac{\pi}{2}} \right) \right]$

$V = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{\pi}{2} + 0 - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right]$

$V = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right]$

$V = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi}{4}$

$V = \frac{\pi^2}{8} - \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi^2 - 2\pi}{8}$

よって、$V = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi}{4}$

(1): 8

(a): -

(2): 4