(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} \cos 45^\circ & -\sin 45^\circ \\ \sin 45^\circ & \cos 45^\circ \end{pmatrix}$ のとき、$A^2$ を求めなさい。 (2) 行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ において、$ad - bc = 0$ のとき、$A^4$ を求めなさい。

はい、承知しました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} \cos 45^\circ & -\sin 45^\circ \\ \sin 45^\circ & \cos 45^\circ \end{pmatrix}$ のとき、$A^2$ を求めなさい。

(2) 行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ において、$ad - bc = 0$ のとき、$A^4$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $A^2$ を計算します。

$A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} \cos 45^\circ & -\sin 45^\circ \\ \sin 45^\circ & \cos 45^\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos 45^\circ & -\sin 45^\circ \\ \sin 45^\circ & \cos 45^\circ \end{pmatrix}$

$\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ なので、

$A^2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

$A^2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

(2) $A^2$ を計算します。

$A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{pmatrix}$

$ad - bc = 0$ より $bc = ad$ なので、

$A^2 = \begin{pmatrix} a^2 + ad & ab + bd \\ ac + cd & ad + d^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a(a + d) & b(a + d) \\ c(a + d) & d(a + d) \end{pmatrix} = (a+d) \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = (a+d)A$

$A^4$ を計算します。

$A^4 = (A^2)^2 = ((a+d)A)^2 = (a+d)^2 A^2 = (a+d)^2 (a+d)A = (a+d)^3 A$

$A^4 = (a+d)^3 \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

(2) $A^4 = (a+d)^3 \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$