全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、以下の情報が与えられている。 $n(U) = 40$, $n(A) = 18$, $n(B) = 25$, $n(A \cap B) = 6$ このとき、以下の値を求めよ。 (1) $n(\overline{B})$ (2) $n(\overline{A \cup B})$ (3) $n(\overline{A} \cap B)$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、以下の情報が与えられている。

$n(U) = 40$, $n(A) = 18$, $n(B) = 25$, $n(A \cap B) = 6$

このとき、以下の値を求めよ。

(1) $n(\overline{B})$

(2) $n(\overline{A \cup B})$

(3) $n(\overline{A} \cap B)$

2. 解き方の手順

(1) $n(\overline{B})$ を求める。

補集合の要素の個数の公式 $n(\overline{B}) = n(U) - n(B)$ を用いる。

$n(U) = 40$, $n(B) = 25$ を代入して、

$n(\overline{B}) = 40 - 25 = 15$

(2) $n(\overline{A \cup B})$ を求める。

ド・モルガンの法則より、$n(\overline{A \cup B}) = n(\overline{A} \cap \overline{B})$

また、$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$より、

$n(A \cup B) = 18 + 25 - 6 = 37$

したがって、$n(\overline{A \cup B}) = 40 - 37 = 3$

(3) $n(\overline{A} \cap B)$ を求める。

これは、$B$ のうち $A$ に含まれない部分の要素の個数である。

$n(\overline{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B)$

$n(B) = 25$, $n(A \cap B) = 6$ を代入して、

$n(\overline{A} \cap B) = 25 - 6 = 19$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{B}) = 15$

(2) $n(\overline{A \cup B}) = 3$

(3) $n(\overline{A} \cap B) = 19$