円に内接する四角形ABCDがあり、線分ACとBDの交点をEとする。$\angle AED = 110^\circ$、$\angle BCD = 70^\circ$のとき、$\angle ABD = x$と$\angle CAD = y$の値を求めよ。

## (4)の問題

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、線分ACとBDの交点をEとする。$\angle AED = 110^\circ$、$\angle BCD = 70^\circ$のとき、$\angle ABD = x$と$\angle CAD = y$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

* $\angle CED = \angle AED = 110^\circ$（対頂角）。

* $\angle EDC = 180^\circ - \angle CED - \angle ECD = 180^\circ - 110^\circ - 70^\circ = 0^\circ$. これはあり得ないので、どこかに誤りがあります。四角形ABCDは円に内接しているので、$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$です。したがって、$\angle BAD = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$です。

* $\angle BEC = \angle AED = 110^\circ$. よって、$\angle EBC = x = 180^\circ - 110^\circ - y$となります。

* 弧CDに対する円周角は等しいので、$\angle CAD = \angle CBD = y$。

* $\angle BAC = \angle BAD - \angle CAD = 110^\circ - y$

* 弧BCに対する円周角は等しいので、$\angle BAC = \angle BDC = 110^\circ - y$

* 三角形CDEにおいて、$\angle CED = 110^\circ$, $\angle ECD = 70^\circ$, $\angle EDC = 180^\circ - 110^\circ - 70^\circ = 0^\circ$。どこかおかしいです。$\angle EDC= \angle BDC$だから、$\angle EDC = 110^\circ - y =0$なので、$y= 40^{\circ}$です。

* したがって、$\angle CBD = y = 40^\circ$

* $\angle EBC = x$なので、三角形BCEにおいて、

$x = 180^\circ - 70^\circ - 110^\circ + y$となります。$\angle BEC + \angle ECB + \angle EBC =180^\circ$.

* $\angle CEB = 180^\circ - \angle AED = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. よって、$\angle EBC = 180^\circ - 70^\circ - 70^\circ= 40^\circ = x$.

* $\angle BAC = 180 - y$. 弧BCに対する円周角は$x$なので、$x+y =110$.

* $\angle BCA = 180 - \angle BCA$. 弧ABに対する円周角はyなので、$\angle BCA=y$.

* $\angle BCD = 70^\circ = \angle BCA + \angle ACD$.

* $\angle ACD=70^\circ - \angle BCA = \angle CDA$

* $\angle CBD=40^\circ$.

3. 最終的な答え

$x = 40^\circ$

$y = 40^\circ$

## (5)の問題

1. 問題の内容

円Oに内接する四角形ABCDがあり、$\angle BAD = 81^\circ$である。$\angle BOD = x$、$\angle BCD = y$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

* 円周角の定理より、$\angle BAD = 81^\circ$なので、$\angle BOD = x = 2 \angle BAD = 2 \times 81^\circ = 162^\circ$。

* 円に内接する四角形の対角の和は$180^\circ$なので、$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$。したがって、$81^\circ + y = 180^\circ$。よって、$y = 180^\circ - 81^\circ = 99^\circ$。

3. 最終的な答え

$x = 162^\circ$

$y = 99^\circ$

## (6)の問題

1. 問題の内容

円Oに内接する三角形ABCがあり、$\angle BAC = 58^\circ$である。$\angle BOC = x$、$\angle ABC = y$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

* 円周角の定理より、$\angle BOC = x = 2\angle BAC = 2 \times 58^\circ = 116^\circ$。

* 三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$である。

* $\angle BOC = x = 116^\circ$。したがって、$\angle ABC = \angle ACB = y$（$\triangle OBC$は二等辺三角形）。

* $\angle BAC = 58^\circ = \frac{1}{2} \times x = 58^\circ$.　$\angle OBC = \angle OCB = \frac{180^\circ -116^\circ}{2} = \frac{64^\circ}{2} = 32^\circ$.

* $\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - \angle BAC}{2} = \frac{180^\circ - 58^\circ}{2} = \frac{122^\circ}{2} = 61^\circ$.

* よって、$y = 61^\circ$.

3. 最終的な答え

$x = 116^\circ$

$y = 61^\circ$