円周上に点A, B, C, D, E, Fがあり、∠BAF = 41°, ∠AFE = 74°である。∠CED = $x$ を求めよ。

1. 問題の内容

円周上に点A, B, C, D, E, Fがあり、∠BAF = 41°, ∠AFE = 74°である。∠CED = $x$ を求めよ。

2. 解き方の手順

円周角の定理より、同じ弧に対する円周角は等しい。

弧BFに対する円周角は∠BAFと∠BCFであるから、

∠BCF = ∠BAF = 41°

弧FEに対する円周角は∠FAEと∠FCEであるから、

∠FCE = ∠AFE = 74°

したがって、∠BCE = ∠BCF + ∠FCE = 41° + 74° = 115°

弧BEに対する円周角は∠BCEと∠BDEであるから、

∠BDE = ∠BCE = 115°

∠BDE + ∠BCE = 180°より、四角形BCDEは円に内接する。しかし、これは今回の問題には直接関係ない。

四角形ABFEは円に内接するので、対角の和は180°である。

∠ABF + ∠AEF = 180°

∠BAC + ∠BEC = 180°

ここで、弧BDに対する円周角は∠BCDと∠BEDなので、∠BED = ∠BCDである。

同様に、弧FCに対する円周角は∠FECと∠FBCなので、∠FEC = ∠FBCである。

∠BEC = ∠BED + ∠DEC = ∠BCD + $x$

四角形ABFEの内角の和は360°なので、

∠BAF + ∠AFE + ∠FEB + ∠EBA = 360°

41° + 74° + ∠FEB + ∠EBA = 360°

∠FEB + ∠EBA = 360° - 41° - 74° = 245°

弧ABに対する円周角は∠AFBと∠AEBなので、∠AEB = ∠AFBである。

ここで、∠AFBは与えられていない。

四角形AFEDも円に内接するので、∠FAD + ∠FED = 180°

四角形BCDEは円に内接するので、∠EBC + ∠EDC = 180°

弧BEに対する円周角は∠BDEと∠BCEであるから、∠BDE = ∠BCE = 115°

弧FCに対する円周角は∠FECと∠FBCであるから、∠FEC = ∠FBC

∠BCE = ∠BCF + ∠FCE = 41° + 74° = 115°

∠CED = $x$ = ∠CFE = 41°

3. 最終的な答え

41°