図の三角形ABCの面積を求める問題です。今回は問題(3)を解きます。三角形ABCにおいて、辺ABの長さが$6\sqrt{2}$ cm、角Bが45度、角Cが60度と与えられています。

了解いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

図の三角形ABCの面積を求める問題です。今回は問題(3)を解きます。三角形ABCにおいて、辺ABの長さが$6\sqrt{2}$ cm、角Bが45度、角Cが60度と与えられています。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は180度であることから、角Aの大きさを求めます。

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$

次に、正弦定理を用いて、辺BCの長さを求めます。正弦定理は、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

ここで、$a = BC$, $c = AB = 6\sqrt{2}$です。したがって、

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$

$BC = \frac{AB \cdot \sin A}{\sin C}$

$BC = \frac{6\sqrt{2} \cdot \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ}$

$\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$BC = \frac{6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{12} + 3(2)}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3} + 6}{\sqrt{3}} = \frac{6(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{3}} = \frac{6(3+\sqrt{3})}{3} = 2(3+\sqrt{3}) = 6 + 2\sqrt{3}$

三角形の面積は、

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B$

$S = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot (6 + 2\sqrt{3}) \cdot \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot (6 + 2\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{6 \cdot 2}{4} \cdot (6 + 2\sqrt{3}) = 3(3 + \sqrt{3}) = 9 + 3\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

三角形ABCの面積は、$9 + 3\sqrt{3}$ cm$^2$です。