ある整式を $x+2$ で割ったとき、商が $x^2+x+4$ で、余りが $3$ であった。この整式を求めよ。

1. 問題の内容

ある整式を $x+2$ で割ったとき、商が $x^2+x+4$ で、余りが $3$ であった。この整式を求めよ。

2. 解き方の手順

割られる式を $P(x)$、割る式を $A(x)$、商を $Q(x)$、余りを $R(x)$ とすると、次の関係式が成り立ちます。

$P(x) = A(x) \cdot Q(x) + R(x)$

問題文より、$A(x) = x+2$, $Q(x) = x^2+x+4$, $R(x) = 3$ であるから、これらの値を上の式に代入すると、求める整式 $P(x)$ は

$P(x) = (x+2)(x^2+x+4) + 3$

となります。これを展開して整理します。

$P(x) = x(x^2+x+4) + 2(x^2+x+4) + 3$

$P(x) = x^3 + x^2 + 4x + 2x^2 + 2x + 8 + 3$

$P(x) = x^3 + 3x^2 + 6x + 11$

3. 最終的な答え

$x^3 + 3x^2 + 6x + 11$