$(x+y)^6$ の展開式を求める問題です。

1. 問題の内容

$(x+y)^6$ の展開式を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開します。二項定理は以下の通りです。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

この問題では、$a = x$, $b = y$, $n = 6$ なので、

$(x+y)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^{6-k} y^k$

二項係数 $\binom{n}{k}$ は $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ で計算できます。

したがって、展開式は以下のようになります。

$(x+y)^6 = \binom{6}{0}x^6y^0 + \binom{6}{1}x^5y^1 + \binom{6}{2}x^4y^2 + \binom{6}{3}x^3y^3 + \binom{6}{4}x^2y^4 + \binom{6}{5}x^1y^5 + \binom{6}{6}x^0y^6$

各二項係数の値を計算します。

$\binom{6}{0} = 1$

$\binom{6}{1} = 6$

$\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

$\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$\binom{6}{5} = \frac{6!}{5!1!} = 6$

$\binom{6}{6} = 1$

これらの値を展開式に代入します。

$(x+y)^6 = 1x^6y^0 + 6x^5y^1 + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6x^1y^5 + 1x^0y^6$

よって、

$(x+y)^6 = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6$

3. 最終的な答え

$x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6$