与えられた整式の組について、最大公約数と最小公倍数をそれぞれ求める問題です。 (1) $ab^2$, $bc$ (2) $4ab^2c^3$, $6a^2bcd$, $8acd^2$ (3) $2x^2(x+1)(x-3)$, $6x(x+1)^2(x+2)^2$, $x(x+1)$

1. 問題の内容

与えられた整式の組について、最大公約数と最小公倍数をそれぞれ求める問題です。

(1) $ab^2$, $bc$

(2) $4ab^2c^3$, $6a^2bcd$, $8acd^2$

(3) $2x^2(x+1)(x-3)$, $6x(x+1)^2(x+2)^2$, $x(x+1)$

2. 解き方の手順

各問題について、最大公約数 (GCD) と最小公倍数 (LCM) を求めます。GCD は各因数の最小の指数を取り、LCM は各因数の最大の指数を取ります。

(1)

$ab^2$ と $bc$ の GCD と LCM を求めます。

GCD は $b$ です。

LCM は $ab^2c$ です。

(2)

$4ab^2c^3$, $6a^2bcd$, $8acd^2$ の GCD と LCM を求めます。

数の部分の GCD は $\gcd(4, 6, 8) = 2$ です。

数の部分の LCM は $\operatorname{lcm}(4, 6, 8) = 24$ です。

文字の部分の GCD は $a^1, a^2, a^1$ の最小の指数は $1$ なので $a$ です。

$b^2, b^1, b^0$ の最小の指数は $0$ なので $b$ はありません。

$c^3, c^1, c^1$ の最小の指数は $1$ なので $c$ です。

$d^0, d^1, d^2$ の最小の指数は $0$ なので $d$ はありません。

GCD は $2ac$ です。

文字の部分の LCM は $a^1, a^2, a^1$ の最大の指数は $2$ なので $a^2$ です。

$b^2, b^1, b^0$ の最大の指数は $2$ なので $b^2$ です。

$c^3, c^1, c^1$ の最大の指数は $3$ なので $c^3$ です。

$d^0, d^1, d^2$ の最大の指数は $2$ なので $d^2$ です。

LCM は $24a^2b^2c^3d^2$ です。

(3)

$2x^2(x+1)(x-3)$, $6x(x+1)^2(x+2)^2$, $x(x+1)$ の GCD と LCM を求めます。

数の部分の GCD は $\gcd(2, 6, 1) = 1$ です。

数の部分の LCM は $\operatorname{lcm}(2, 6, 1) = 6$ です。

$x^2, x^1, x^1$ の最小の指数は $1$ なので $x$ です。

$(x+1)^1, (x+1)^2, (x+1)^1$ の最小の指数は $1$ なので $(x+1)$ です。

$(x-3)^1, (x-3)^0, (x-3)^0$ の最小の指数は $0$ なので $(x-3)$ はありません。

$(x+2)^0, (x+2)^2, (x+2)^0$ の最小の指数は $0$ なので $(x+2)$ はありません。

GCD は $x(x+1)$ です。

$x^2, x^1, x^1$ の最大の指数は $2$ なので $x^2$ です。

$(x+1)^1, (x+1)^2, (x+1)^1$ の最大の指数は $2$ なので $(x+1)^2$ です。

$(x-3)^1, (x-3)^0, (x-3)^0$ の最大の指数は $1$ なので $(x-3)$ です。

$(x+2)^0, (x+2)^2, (x+2)^0$ の最大の指数は $2$ なので $(x+2)^2$ です。

LCM は $6x^2(x+1)^2(x-3)(x+2)^2$ です。

3. 最終的な答え

(1) GCD: $b$, LCM: $ab^2c$

(2) GCD: $2ac$, LCM: $24a^2b^2c^3d^2$

(3) GCD: $x(x+1)$, LCM: $6x^2(x+1)^2(x-3)(x+2)^2$