与えられた整式の組に対して、最大公約数と最小公倍数を求める問題です。 (1) $ab^2$, $bc$ (2) $4ab^2c^3$, $6a^2bcd$, $8acd^2$ (3) $2x^2(x+1)(x-3)$, $6x(x+1)^2(x+2)^2$, $x(x+1)$

1. 問題の内容

与えられた整式の組に対して、最大公約数と最小公倍数を求める問題です。

(1) $ab^2$, $bc$

(2) $4ab^2c^3$, $6a^2bcd$, $8acd^2$

(3) $2x^2(x+1)(x-3)$, $6x(x+1)^2(x+2)^2$, $x(x+1)$

2. 解き方の手順

(1)

最大公約数(GCD):

$ab^2$ と $bc$ に共通する因子は $b$ のみです。したがって、最大公約数は $b$ です。

最小公倍数(LCM):

$ab^2$ と $bc$ の最小公倍数は、それぞれの式に含まれる全ての因子を、最も大きい指数で含んでいる必要があります。

$a$, $b^2$, $c$ を含んでいる必要があります。したがって、最小公倍数は $ab^2c$ です。

(2)

最大公約数(GCD):

$4ab^2c^3$, $6a^2bcd$, $8acd^2$ の係数の最大公約数は 2 です。

$a$, $b$, $c$, $d$ の各文字について、全ての式に共通する最小の指数を選びます。

$a$ は全ての式に含まれており、最小の指数は1です。

$b$ は全ての式に含まれており、最小の指数は1です。

$c$ は全ての式に含まれており、最小の指数は1です。

$d$ は全ての式に含まれており、最小の指数は1です。

したがって、最大公約数は $2abc d$ です。

最小公倍数(LCM):

$4ab^2c^3$, $6a^2bcd$, $8acd^2$ の係数の最小公倍数は、4, 6, 8 の最小公倍数である24です。

$a$, $b$, $c$, $d$ の各文字について、最も大きい指数を選びます。

$a$ の最大の指数は2です。

$b$ の最大の指数は2です。

$c$ の最大の指数は3です。

$d$ の最大の指数は2です。

したがって、最小公倍数は $24a^2b^2c^3d^2$ です。

(3)

最大公約数(GCD):

$2x^2(x+1)(x-3)$, $6x(x+1)^2(x+2)^2$, $x(x+1)$

係数の最大公約数は 1 です。

$x$ は全ての式に含まれており、最小の指数は1です。

$(x+1)$ は全ての式に含まれており、最小の指数は1です。

$(x-3)$ は最初の式にのみ含まれています。

$(x+2)$ は2番目の式にのみ含まれています。

したがって、最大公約数は $x(x+1)$ です。

最小公倍数(LCM):

$2x^2(x+1)(x-3)$, $6x(x+1)^2(x+2)^2$, $x(x+1)$

係数の最小公倍数は、2, 6, 1 の最小公倍数である6です。

$x$ の最大の指数は2です。

$(x+1)$ の最大の指数は2です。

$(x-3)$ の最大の指数は1です。

$(x+2)$ の最大の指数は2です。

したがって、最小公倍数は $6x^2(x+1)^2(x-3)(x+2)^2$ です。

3. 最終的な答え

(1)

最大公約数: $b$

最小公倍数: $ab^2c$

(2)

最大公約数: $2abcd$

最小公倍数: $24a^2b^2c^3d^2$

(3)

最大公約数: $x(x+1)$

最小公倍数: $6x^2(x+1)^2(x-3)(x+2)^2$