$A$ を $n$ 次正方行列とするとき、以下の命題の真偽を判定する問題です。 1. $A$ のある行が $(0\ 0\ \dots\ 0)$ であるならば、$A$ は正則ではない。

1. 問題の内容

$A$ を $n$ 次正方行列とするとき、以下の命題の真偽を判定する問題です。

1. $A$ のある行が $(0\ 0\ \dots\ 0)$ であるならば、$A$ は正則ではない。

2. $A$ が正則でないならば、$A$ のある行は $(0\ 0\ \dots\ 0)$ である。

また、問題4.2では、問題4.1の「行」を「列」に置き換えた場合の真偽を検討します。

2. 解き方の手順

問題4.1

1. $A$ のある行が $(0\ 0\ \dots\ 0)$ であるならば、$A$ は正則ではない。

* 行列式 $|A|$ はある行の線形結合で計算できます。もし、ある行が全て0であれば、その行で展開すると、行列式 $|A|$ は0になります。

* $A$ が正則であるための必要十分条件は、行列式 $|A| \neq 0$ であることです。

* したがって、$A$ のある行が $(0\ 0\ \dots\ 0)$ であるならば、行列式 $|A| = 0$ であるので、$A$ は正則ではありません。

2. $A$ が正則でないならば、$A$ のある行は $(0\ 0\ \dots\ 0)$ である。

* この命題は偽です。反例を示します。

* $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ を考えます。

* 行列式 $|A| = 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1 = 0$ なので、$A$ は正則ではありません。

* しかし、$A$ のどの行も $(0\ 0)$ ではありません。

問題4.2

問題4.1で、「行」を「列」に置き換えた場合を考えます。

1. $A$ のある列が $(0\ 0\ \dots\ 0)^T$ であるならば、$A$ は正則ではない。

* 行列式 $|A|$ はある列の線形結合で計算できます。もし、ある列が全て0であれば、その列で展開すると、行列式 $|A|$ は0になります。

* $A$ が正則であるための必要十分条件は、行列式 $|A| \neq 0$ であることです。

* したがって、$A$ のある列が $(0\ 0\ \dots\ 0)^T$ であるならば、行列式 $|A| = 0$ であるので、$A$ は正則ではありません。

2. $A$ が正則でないならば、$A$ のある列は $(0\ 0\ \dots\ 0)^T$ である。

* この命題は偽です。反例を示します。

* $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ を考えます。

* 行列式 $|A| = 1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 = 0$ なので、$A$ は正則ではありません。

* しかし、$A$ のどの列も $(0\ 0)^T$ ではありません。

3. 最終的な答え

問題4.1

1. 真

2. 偽

問題4.2

1. 真

2. 偽