多項式 $(x+1)(x+2)(x+3)\cdots(x+n)$ の展開式において、次の係数を求めます。 (1) $x^{n-1}$ の係数 (2) $x^{n-2}$ の係数 ($n \geq 2$)

1. 問題の内容

多項式 $(x+1)(x+2)(x+3)\cdots(x+n)$ の展開式において、次の係数を求めます。

(1) $x^{n-1}$ の係数

(2) $x^{n-2}$ の係数 ($n \geq 2$)

2. 解き方の手順

(1) $x^{n-1}$ の係数を求める。

$(x+1)(x+2)(x+3)\cdots(x+n)$ の展開式において、$x^{n-1}$ の項は、$n$ 個の因子のうち $(n-1)$ 個から $x$ を選び、残りの1個から定数を選ぶことで得られます。

従って、$x^{n-1}$ の係数は $1 + 2 + 3 + \cdots + n$ となります。

これは等差数列の和であり、

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

となります。

(2) $x^{n-2}$ の係数を求める。

$(x+1)(x+2)(x+3)\cdots(x+n)$ の展開式において、$x^{n-2}$ の項は、$n$ 個の因子のうち $(n-2)$ 個から $x$ を選び、残りの2個から定数を選ぶことで得られます。

$x^{n-2}$ の係数は、異なる2つの数 $i, j$ ($1 \le i < j \le n$) の積 $ij$ のすべての組み合わせの和となります。

つまり、

$\sum_{1 \le i < j \le n} ij = \frac{1}{2} [ (\sum_{k=1}^{n} k)^2 - \sum_{k=1}^{n} k^2 ]$

ここで、

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

したがって、

$\sum_{1 \le i < j \le n} ij = \frac{1}{2} [ (\frac{n(n+1)}{2})^2 - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} ]$

$= \frac{1}{2} [ \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} ]$

$= \frac{n(n+1)}{2} [ \frac{n(n+1)}{4} - \frac{2n+1}{6} ]$

$= \frac{n(n+1)}{2} [ \frac{3n(n+1) - 2(2n+1)}{12} ]$

$= \frac{n(n+1)}{24} [ 3n^2 + 3n - 4n - 2 ]$

$= \frac{n(n+1)(3n^2 - n - 2)}{24}$

$= \frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}$

$= \frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}$

3. 最終的な答え

(1) $x^{n-1}$ の係数: $\frac{n(n+1)}{2}$

(2) $x^{n-2}$ の係数: $\frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}$