問題4.1: $A$ を $n$ 次正方行列とする。以下の命題の真偽を判定せよ。 1. $A$ のある行が $(0\ 0\ \cdots\ 0)$ であるならば、$A$ は正則ではない。 2. $A$ が正則でないならば、$A$ のある行は $(0\ 0\ \cdots\ 0)$ である。 問題4.2: 問題4.1で、「行」を「列」に置き換えた場合の真偽を検討せよ。

1. 問題の内容

問題4.1: $A$ を $n$ 次正方行列とする。以下の命題の真偽を判定せよ。

1. $A$ のある行が $(0\ 0\ \cdots\ 0)$ であるならば、$A$ は正則ではない。

2. $A$ が正則でないならば、$A$ のある行は $(0\ 0\ \cdots\ 0)$ である。

問題4.2: 問題4.1で、「行」を「列」に置き換えた場合の真偽を検討せよ。

2. 解き方の手順

問題4.1

1. ある行がすべて0である場合、行列式は0となるため、正則ではない。よって、命題は真である。

2. $A$ が正則でないとき、すなわち $\det(A) = 0$ のとき、$A$ のある行が $(0\ 0\ \cdots\ 0)$ であるとは限らない。

例: $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ は正則ではないが、ある行がすべて0ではない。

したがって、この命題は偽である。

問題4.2

問題4.1の命題を「行」を「列」に置き換えて考える。

1. $A$ のある列が $(0\ 0\ \cdots\ 0)^T$ であるならば、$A$ は正則ではない。

同様に、ある列がすべて0である場合、行列式は0となるため、正則ではない。よって、命題は真である。

2. $A$ が正則でないならば、$A$ のある列は $(0\ 0\ \cdots\ 0)^T$ である。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ は正則でないが、ある列がすべて0ではない。

したがって、この命題は偽である。

3. 最終的な答え

問題4.1

1. 真

2. 偽

問題4.2

1. 真

2. 偽