問題4.1：$A$を$n$次正方行列とするとき、以下の命題の真偽を判定する。 1. $A$のある行が$(0, 0, ..., 0)$であるならば、$A$は正則ではない。 2. $A$が正則でないならば、$A$のある行は$(0, 0, ..., 0)$である。 問題4.2：問題4.1で、「行」を「列」に置き換えた場合の真偽を検討する。
2025/5/14
1. 問題の内容
問題4.1：を次正方行列とするとき、以下の命題の真偽を判定する。
1. $A$のある行が$(0, 0, ..., 0)$であるならば、$A$は正則ではない。
2. $A$が正則でないならば、$A$のある行は$(0, 0, ..., 0)$である。
問題4.2：問題4.1で、「行」を「列」に置き換えた場合の真偽を検討する。
2. 解き方の手順
問題4.1：
1. $A$のある行が$(0, 0, ..., 0)$であるとき、$A$の行列式は0となる。なぜならば、行列式をある行に関して余因子展開したとき、その行のすべての要素が0であれば、行列式の値は0となるからである。行列式が0である行列は正則ではない。したがって、命題1は真である。
2. $A$が正則でないとき、$A$の行列式は0となる。しかし、行列式が0であるからといって、$A$のある行が$(0, 0, ..., 0)$であるとは限らない。例えば、$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$は正則ではないが、ある行がすべて0であるわけではない。別の例として、$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$は正則ではないが、どの行もすべて0ではない。したがって、命題2は偽である。
問題4.2：
1. $A$のある列が$(0, 0, ..., 0)$であるとき、$A$の行列式は0となる。なぜならば、行列式をある列に関して余因子展開したとき、その列のすべての要素が0であれば、行列式の値は0となるからである。行列式が0である行列は正則ではない。したがって、命題1は真である。
2. $A$が正則でないとき、$A$の行列式は0となる。しかし、行列式が0であるからといって、$A$のある列が$(0, 0, ..., 0)$であるとは限らない。例えば、$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$は正則ではないが、ある列がすべて0であるわけではない。別の例として、$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$は正則ではないが、どの列もすべて0ではない。したがって、命題2は偽である。
3. 最終的な答え
問題4.1：
1. 真
2. 偽
問題4.2：