放物線 $y = x^2 - 6x + 11$ を $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動したときの放物線の方程式を求め、頂点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 6x + 11$ を $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動したときの放物線の方程式を求め、頂点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = x^2 - 6x + 11$ を平方完成します。

$y = x^2 - 6x + 11$

$y = (x^2 - 6x + 9) + 11 - 9$

$y = (x - 3)^2 + 2$

したがって、元の放物線の頂点の座標は $(3, 2)$です。

次に、$x$軸方向に$1$, $y$軸方向に$3$だけ平行移動した後の放物線の方程式を求めます。これは、元の放物線の方程式の$x$を$x-1$に、$y$を$y-3$に置き換えることで得られます。

$y - 3 = (x - 1)^2 - 6(x - 1) + 11$

$y = (x - 1)^2 - 6(x - 1) + 11 + 3$

$y = (x^2 - 2x + 1) - 6x + 6 + 14$

$y = x^2 - 8x + 21$

または、平行移動後の頂点の座標は$(3+1, 2+3) = (4, 5)$ なので、$y = (x-4)^2 + 5 = x^2 - 8x + 16 + 5 = x^2 - 8x + 21$

平方完成の形にするために、もう一度平方完成を行います。

$y = x^2 - 8x + 21$

$y = (x^2 - 8x + 16) + 21 - 16$

$y = (x - 4)^2 + 5$

3. 最終的な答え

$y = (x - 4)^2 + 5$

①: 4

②: 5