2つの放物線 $y = 2x^2 - 4x + 3$ と $y = x^2 + 2ax + b$ の頂点が一致するとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

2つの放物線 $y = 2x^2 - 4x + 3$ と $y = x^2 + 2ax + b$ の頂点が一致するとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = 2x^2 - 4x + 3$ の頂点を求める。平方完成を行う。

$y = 2(x^2 - 2x) + 3$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3$

$y = 2((x - 1)^2 - 1) + 3$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 + 3$

$y = 2(x - 1)^2 + 1$

よって、放物線 $y = 2x^2 - 4x + 3$ の頂点は $(1, 1)$ である。

次に、$y = x^2 + 2ax + b$ の頂点を求める。同様に平方完成を行う。

$y = (x^2 + 2ax) + b$

$y = (x^2 + 2ax + a^2 - a^2) + b$

$y = (x + a)^2 - a^2 + b$

よって、放物線 $y = x^2 + 2ax + b$ の頂点は $(-a, -a^2 + b)$ である。

2つの放物線の頂点が一致するため、

$-a = 1$ かつ $-a^2 + b = 1$ でなければならない。

したがって、

$a = -1$

$-(-1)^2 + b = 1$

$-1 + b = 1$

$b = 2$

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = 2$