問題は、真理表を用いて以下の6つの命題が正しいことを示すことです。 (1) 二重否定: $\neg(\neg P) \Leftrightarrow P$ (2) ド・モルガンの法則: $\neg(P \land Q) \Leftrightarrow (\neg P) \lor (\neg Q)$ (3) 対偶: $P \Rightarrow Q \Leftrightarrow \neg Q \Rightarrow \neg P$ (4) 三段論法: $(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow R) \Rightarrow (P \Rightarrow R)$ (5) 分配法則: $(A \land B) \lor C \Leftrightarrow (A \lor C) \land (B \lor C)$ (6) 分配法則: $(A \lor B) \land C \Leftrightarrow (A \land C) \lor (B \land C)$

## 真理表を用いた命題の証明

1. 問題の内容

問題は、真理表を用いて以下の6つの命題が正しいことを示すことです。

(1) 二重否定: $\neg(\neg P) \Leftrightarrow P$

(2) ド・モルガンの法則: $\neg(P \land Q) \Leftrightarrow (\neg P) \lor (\neg Q)$

(3) 対偶: $P \Rightarrow Q \Leftrightarrow \neg Q \Rightarrow \neg P$

(4) 三段論法: $(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow R) \Rightarrow (P \Rightarrow R)$

(5) 分配法則: $(A \land B) \lor C \Leftrightarrow (A \lor C) \land (B \lor C)$

(6) 分配法則: $(A \lor B) \land C \Leftrightarrow (A \land C) \lor (B \land C)$

2. 解き方の手順

それぞれの命題について、真理表を作成し、左辺と右辺の真偽値が完全に一致することを示します。真理表は、すべての変数の真偽値の組み合わせに対して、それぞれの式の真偽値を計算します。$\Leftrightarrow$ (同値) を示すには、左辺と右辺の真理値がすべての行で一致する必要があります。$\Rightarrow$ (含意) を示すには、左辺が真であるすべての行で右辺も真である必要があります。

**(1) 二重否定: $\neg(\neg P) \Leftrightarrow P$**

| P | ¬P | ¬(¬P) |

|---|---|---|

| T | F | T |

| F | T | F |

$\neg(\neg P)$ と $P$ の真理値はすべての行で一致するので、$\neg(\neg P) \Leftrightarrow P$ は正しいです。

**(2) ド・モルガンの法則: $\neg(P \land Q) \Leftrightarrow (\neg P) \lor (\neg Q)$**

| P | Q | P∧Q | ¬(P∧Q) | ¬P | ¬Q | ¬P∨¬Q |

|---|---|---|---|---|---|---|

| T | T | T | F | F | F | F |

| T | F | F | T | F | T | T |

| F | T | F | T | T | F | T |

| F | F | F | T | T | T | T |

$\neg(P \land Q)$ と $(\neg P) \lor (\neg Q)$ の真理値はすべての行で一致するので、$\neg(P \land Q) \Leftrightarrow (\neg P) \lor (\neg Q)$ は正しいです。

**(3) 対偶: $P \Rightarrow Q \Leftrightarrow \neg Q \Rightarrow \neg P$**

| P | Q | P⇒Q | ¬Q | ¬P | ¬Q⇒¬P |

|---|---|---|---|---|---|

| T | T | T | F | F | T |

| T | F | F | T | F | F |

| F | T | T | F | T | T |

| F | F | T | T | T | T |

$P \Rightarrow Q$ と $\neg Q \Rightarrow \neg P$ の真理値はすべての行で一致するので、$P \Rightarrow Q \Leftrightarrow \neg Q \Rightarrow \neg P$ は正しいです。

**(4) 三段論法: $(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow R) \Rightarrow (P \Rightarrow R)$**

| P | Q | R | P⇒Q | Q⇒R | (P⇒Q)∧(Q⇒R) | P⇒R |

|---|---|---|---|---|---|---|

| T | T | T | T | T | T | T |

| T | T | F | T | F | F | F |

| T | F | T | F | T | F | T |

| T | F | F | F | T | F | F |

| F | T | T | T | T | T | T |

| F | T | F | T | F | F | T |

| F | F | T | T | T | T | T |

| F | F | F | T | T | T | T |

$(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow R)$ が真であるすべての行で、$P \Rightarrow R$ も真であるため、$(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow R) \Rightarrow (P \Rightarrow R)$ は正しいです。

**(5) 分配法則: $(A \land B) \lor C \Leftrightarrow (A \lor C) \land (B \lor C)$**

| A | B | C | A∧B | (A∧B)∨C | A∨C | B∨C | (A∨C)∧(B∨C) |

|---|---|---|---|---|---|---|---|

| T | T | T | T | T | T | T | T |

| T | T | F | T | T | T | T | T |

| T | F | T | F | T | T | T | T |

| T | F | F | F | F | T | F | F |

| F | T | T | F | T | T | T | T |

| F | T | F | F | F | F | T | F |

| F | F | T | F | T | T | T | T |

| F | F | F | F | F | F | F | F |

$(A \land B) \lor C$ と $(A \lor C) \land (B \lor C)$ の真理値はすべての行で一致するので、$(A \land B) \lor C \Leftrightarrow (A \lor C) \land (B \lor C)$ は正しいです。

**(6) 分配法則: $(A \lor B) \land C \Leftrightarrow (A \land C) \lor (B \land C)$**

| A | B | C | A∨B | (A∨B)∧C | A∧C | B∧C | (A∧C)∨(B∧C) |

|---|---|---|---|---|---|---|---|

| T | T | T | T | T | T | T | T |

| T | T | F | T | F | F | F | F |

| T | F | T | T | T | T | F | T |

| T | F | F | T | F | F | F | F |

| F | T | T | T | T | F | T | T |

| F | T | F | T | F | F | F | F |

| F | F | T | F | F | F | F | F |

| F | F | F | F | F | F | F | F |

$(A \lor B) \land C$ と $(A \land C) \lor (B \land C)$ の真理値はすべての行で一致するので、$(A \lor B) \land C \Leftrightarrow (A \land C) \lor (B \land C)$ は正しいです。

3. 最終的な答え

真理表を用いて、以下の命題が正しいことが証明されました。

(1) $\neg(\neg P) \Leftrightarrow P$

(2) $\neg(P \land Q) \Leftrightarrow (\neg P) \lor (\neg Q)$

(3) $P \Rightarrow Q \Leftrightarrow \neg Q \Rightarrow \neg P$

(4) $(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow R) \Rightarrow (P \Rightarrow R)$

(5) $(A \land B) \lor C \Leftrightarrow (A \lor C) \land (B \lor C)$

(6) $(A \lor B) \land C \Leftrightarrow (A \land C) \lor (B \land C)$