関数 $f(x) = \frac{x+2}{x-a}$ について、$f^{-1}(x) = f(x)$ が成り立つように、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x+2}{x-a}$ について、$f^{-1}(x) = f(x)$ が成り立つように、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めます。$y = f(x)$ とおくと、

$y = \frac{x+2}{x-a}$

$y(x-a) = x+2$

$yx - ay = x + 2$

$yx - x = ay + 2$

$x(y-1) = ay+2$

$x = \frac{ay+2}{y-1}$

したがって、$f^{-1}(x) = \frac{ax+2}{x-1}$ となります。

次に、$f^{-1}(x) = f(x)$ という条件から、

$\frac{ax+2}{x-1} = \frac{x+2}{x-a}$

$(ax+2)(x-a) = (x+2)(x-1)$

$ax^2 - a^2x + 2x - 2a = x^2 + 2x - x - 2$

$ax^2 - a^2x + 2x - 2a = x^2 + x - 2$

$(a-1)x^2 + (1 - a^2)x + (2 - 2a) = 0$

この式が全ての $x$ について成り立つためには、$x$ の各次数の係数が全て0である必要があります。

$a-1 = 0$

$1-a^2 = 0$

$2-2a = 0$

$a-1 = 0$ より、$a = 1$ です。

$1-a^2 = 0$ より、$a^2 = 1$ なので、$a = 1$ または $a = -1$ です。

$2-2a = 0$ より、$2a = 2$ なので、$a = 1$ です。

したがって、$a=1$ がこれらの条件を全て満たします。

ただし、$a=1$ のとき、$f(x) = \frac{x+2}{x-1}$ となり、$f^{-1}(x) = \frac{x+2}{x-1}$ となるので、確かに $f(x)=f^{-1}(x)$ が成立します。

3. 最終的な答え

$a = 1$