虚数 $z$ が、$z + \frac{1}{z}$ が実数となるように動くとき、以下の問いに答えます。 (1) 複素数平面上で点 $z$ はどのような図形を描くか図示します。 (2) $w = (z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i)^4$ とおくとき、$w$ の絶対値と偏角のとり得る値の範囲をそれぞれ求めます。ただし、偏角は $0$ 以上 $2\pi$ 未満とします。

1. 問題の内容

虚数 $z$ が、$z + \frac{1}{z}$ が実数となるように動くとき、以下の問いに答えます。

(1) 複素数平面上で点 $z$ はどのような図形を描くか図示します。

(2) $w = (z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i)^4$ とおくとき、$w$ の絶対値と偏角のとり得る値の範囲をそれぞれ求めます。ただし、偏角は $0$ 以上 $2\pi$ 未満とします。

2. 解き方の手順

(1)

$z = x + yi$ ($x, y$ は実数, $y \neq 0$)とおくと、

$z + \frac{1}{z} = x + yi + \frac{1}{x+yi} = x + yi + \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = x + \frac{x}{x^2+y^2} + (y - \frac{y}{x^2+y^2})i$

$z + \frac{1}{z}$ が実数となるためには、虚部が $0$ でなければならないので、

$y - \frac{y}{x^2 + y^2} = 0$

$y(1 - \frac{1}{x^2 + y^2}) = 0$

$y \neq 0$ より、

$1 - \frac{1}{x^2+y^2} = 0$

$x^2 + y^2 = 1$

これは原点中心、半径 $1$ の円を表します。ただし、$z$ は虚数なので、$z = \pm 1$ は除きます。

(2)

$w = (z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i)^4$

$\sqrt{2} + \sqrt{2}i = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i) = 2(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) = 2e^{i\frac{\pi}{4}}$

$z = \cos\theta + i\sin\theta$ ($0 < \theta < 2\pi$, $\theta \neq \pi$)

$z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i = \cos\theta + i\sin\theta + 2\cos\frac{\pi}{4} + 2i\sin\frac{\pi}{4}$

$= (\cos\theta + \sqrt{2}) + i(\sin\theta + \sqrt{2})$

$w = ((\cos\theta + \sqrt{2}) + i(\sin\theta + \sqrt{2}))^4$

$|w| = |z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i|^4 = ((\cos\theta + \sqrt{2})^2 + (\sin\theta + \sqrt{2})^2)^2$

$= (\cos^2\theta + 2\sqrt{2}\cos\theta + 2 + \sin^2\theta + 2\sqrt{2}\sin\theta + 2)^2$

$= (1 + 4 + 2\sqrt{2}(\cos\theta + \sin\theta))^2 = (5 + 2\sqrt{2}(\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})))^2 = (5 + 4\sin(\theta + \frac{\pi}{4}))^2$

$-\frac{3\pi}{4} < \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$, $\theta + \frac{\pi}{4} \neq \frac{5\pi}{4}$

$-1 \leq \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \leq 1$

$1 \leq 5 + 4\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \leq 9$

$1 \leq |w|^{1/2} \leq 9$

$1 \leq |w| \leq 81$

$\arg(w) = 4 \arg(z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i)$

$z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i = 5 + 4\sin(\theta+\frac{\pi}{4})$

$z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i = re^{i\alpha}$

$w = r^4e^{4i\alpha}$

$\theta$ が $\pi$ に近づくとき、$\cos\theta = -1$ となる。

$z = -1$ の時、 $z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i = -1+\sqrt{2} + \sqrt{2}i$

$(-1 + \sqrt{2} + \sqrt{2}i)^4$

$\alpha = \arctan(\frac{\sin\theta + \sqrt{2}}{\cos\theta + \sqrt{2}})$

$\arg(w) = 4\arctan(\frac{\sin\theta + \sqrt{2}}{\cos\theta + \sqrt{2}})$

$\alpha \in (0, 2\pi)$

$\arg(w) \in (0, 8\pi)$

3. 最終的な答え

(1) 複素数平面上で点 $z$ は原点中心、半径 $1$ の円である。ただし、$z = \pm 1$ を除く。

(2) $|w|$ の範囲は $1 \le |w| \le 81$

$\arg(w)$ の範囲は $0 \le \arg(w) < 2\pi$