問題は以下の通りです。 (1) 複素数 $z$ が、$z + \frac{1}{z}$ が実数となるように動くとき、複素数平面上で点 $z$ はどのような図形を描くか図示せよ。 (2) $w = z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ とおくとき、$w$ の絶対値と偏角のとり得る値の範囲をそれぞれ求めよ。ただし、偏角は $0$ 以上 $2\pi$ 未満とする。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(1) 複素数 $z$ が、$z + \frac{1}{z}$ が実数となるように動くとき、複素数平面上で点 $z$ はどのような図形を描くか図示せよ。

(2) $w = z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ とおくとき、$w$ の絶対値と偏角のとり得る値の範囲をそれぞれ求めよ。ただし、偏角は $0$ 以上 $2\pi$ 未満とする。

2. 解き方の手順

(1) $z = x + yi$ ($x, y$ は実数) とおく。$z + \frac{1}{z}$ が実数である条件を考える。

まず、$z + \frac{1}{z} = x + yi + \frac{1}{x + yi} = x + yi + \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = x + \frac{x}{x^2 + y^2} + (y - \frac{y}{x^2 + y^2})i$

$z + \frac{1}{z}$ が実数であるためには、虚部が0でなければならない。

したがって、$y - \frac{y}{x^2 + y^2} = 0$ となる。

$y(1 - \frac{1}{x^2 + y^2}) = 0$

よって、$y = 0$ または $x^2 + y^2 = 1$ となる。

$y = 0$ は $z$ が実数軸上にあることを示す。ただし、$z = 0$ は $\frac{1}{z}$ が定義されないので除外する。

$x^2 + y^2 = 1$ は原点中心、半径1の円を表す。

(2) $w = z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ である。

(1)より、$z$ は実数軸上または原点中心半径1の円周上にある。

- $z$ が実数軸上にある場合: $z=x$とすると、$w = x + \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ なので、$w - (\sqrt{2} + \sqrt{2} i) = x$ つまり $Re(w - (\sqrt{2} + \sqrt{2} i))=x$。このとき、$w$ の軌跡は直線 $Im(w) = \sqrt{2}$ となる。ただし $x \neq 0$

- $z$ が単位円上にある場合: $z = e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$ とおく。

$w = \cos \theta + i \sin \theta + \sqrt{2} + i\sqrt{2} = (\cos \theta + \sqrt{2}) + i(\sin \theta + \sqrt{2})$

$|w|^2 = (\cos \theta + \sqrt{2})^2 + (\sin \theta + \sqrt{2})^2 = \cos^2 \theta + 2\sqrt{2}\cos \theta + 2 + \sin^2 \theta + 2\sqrt{2}\sin \theta + 2 = 5 + 2\sqrt{2}(\cos \theta + \sin \theta)$

$\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \sin (\theta + \frac{\pi}{4})$ であるから、$-\sqrt{2} \leq \cos \theta + \sin \theta \leq \sqrt{2}$

したがって、$5 - 2 \leq |w|^2 \leq 5 + 2$

$3 \leq |w|^2 \leq 7$

$\sqrt{3} \leq |w| \leq \sqrt{7}$

$\tan (\arg(w)) = \frac{\sin \theta + \sqrt{2}}{\cos \theta + \sqrt{2}}$

$w = \sqrt{2} + \sqrt{2} i + e^{i\theta} = 2e^{i\frac{\pi}{4}} + e^{i\theta}$

$|w| = |2e^{i\frac{\pi}{4}} + e^{i\theta}|$

$\alpha = arg(w)$とすると、$\arg(w) = tan^{-1} (\frac{\sin \theta + \sqrt{2}}{\cos \theta + \sqrt{2}})$

実数軸上の場合も考慮すると、

$z=x$, $w=x+\sqrt{2}+i\sqrt{2}$　ゆえに$Arg(w)=arctan(\frac{\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}})$

この時、$arctan(\frac{\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}})$は、$x \rightarrow \infty$で0に近づき、$x \rightarrow -\infty$ で$-\frac{\pi}{2}$に近づく。

$\sqrt{3} \leq |w| \leq \sqrt{7}$かつ$\theta \in [0, 2\pi)$ より，$0 < \arg(w) < \pi/2$を満たす.

3. 最終的な答え

(1) 実数軸 (ただし、原点を除く) と、原点中心、半径1の円。

(2) $\sqrt{3} \leq |w| \leq \sqrt{7}$, $0 < \arg(w) < \frac{\pi}{2}$