10本のくじの中に当たりくじが2本含まれている。この中から同時に5本引いたとき、当たりくじの本数 $X$ の期待値 $E(X)$、 $X^2$ の期待値 $E(X^2)$、および分散 $V(X)$ を求める。ただし、$E(X^2) = \frac{a}{9}$ および $V(X) = \frac{b}{9}$ の形で答える。

1. 問題の内容

10本のくじの中に当たりくじが2本含まれている。この中から同時に5本引いたとき、当たりくじの本数 $X$ の期待値 $E(X)$、 $X^2$ の期待値 $E(X^2)$、および分散 $V(X)$ を求める。ただし、$E(X^2) = \frac{a}{9}$ および $V(X) = \frac{b}{9}$ の形で答える。

2. 解き方の手順

$X$ は超幾何分布に従う。

母集団のサイズを $N = 10$、当たりくじの本数を $K = 2$、標本サイズを $n = 5$ とする。

$X$ の取りうる値は、0, 1, 2である。

まず、確率質量関数 $P(X=x)$ を求める。

$P(X=x) = \frac{{}_K C_x \cdot {}_{N-K} C_{n-x}}{{}_N C_n} = \frac{{}_2 C_x \cdot {}_8 C_{5-x}}{{}_{10} C_5}$

$P(X=0) = \frac{{}_2 C_0 \cdot {}_8 C_5}{{}_{10} C_5} = \frac{1 \cdot 56}{252} = \frac{56}{252} = \frac{2}{9}$

$P(X=1) = \frac{{}_2 C_1 \cdot {}_8 C_4}{{}_{10} C_5} = \frac{2 \cdot 70}{252} = \frac{140}{252} = \frac{5}{9}$

$P(X=2) = \frac{{}_2 C_2 \cdot {}_8 C_3}{{}_{10} C_5} = \frac{1 \cdot 56}{252} = \frac{56}{252} = \frac{2}{9}$

期待値 $E(X)$ は、

$E(X) = \sum x P(X=x) = 0 \cdot \frac{2}{9} + 1 \cdot \frac{5}{9} + 2 \cdot \frac{2}{9} = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} = \frac{9}{9} = 1$

$X^2$ の期待値 $E(X^2)$ は、

$E(X^2) = \sum x^2 P(X=x) = 0^2 \cdot \frac{2}{9} + 1^2 \cdot \frac{5}{9} + 2^2 \cdot \frac{2}{9} = 0 + \frac{5}{9} + \frac{8}{9} = \frac{13}{9}$

したがって、$a=13$

分散 $V(X)$ は、

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{13}{9} - 1^2 = \frac{13}{9} - 1 = \frac{13-9}{9} = \frac{4}{9}$

したがって、$b=4$

3. 最終的な答え

$E(X) = 1$

$E(X^2) = \frac{13}{9}, a=13$

$V(X) = \frac{4}{9}, b=4$