確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ が5、分散 $V(X)$ が1であるとき、確率変数 $Y = 3X - 1$ の期待値 $E(Y)$ と分散 $V(Y)$ を求める。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ が5、分散 $V(X)$ が1であるとき、確率変数 $Y = 3X - 1$ の期待値 $E(Y)$ と分散 $V(Y)$ を求める。

2. 解き方の手順

期待値の性質より、

$E(aX + b) = aE(X) + b$

を用いる。この場合、$a=3$, $b=-1$ であるので、

$E(3X - 1) = 3E(X) - 1$

$E(X) = 5$ を代入すると、

$E(3X - 1) = 3 \times 5 - 1 = 15 - 1 = 14$

分散の性質より、

$V(aX + b) = a^2V(X)$

を用いる。この場合、$a=3$, $b=-1$ であるので、

$V(3X - 1) = 3^2V(X) = 9V(X)$

$V(X) = 1$ を代入すると、

$V(3X - 1) = 9 \times 1 = 9$

3. 最終的な答え

期待値 $E(3X - 1) = 14$

分散 $V(3X - 1) = 9$