二等辺三角形 ABC に内接する半円 O がある。AB = AC = 5cm、BC = 8cm のとき、半円 O の半径を小数で求めよ。

1. 問題の内容

二等辺三角形 ABC に内接する半円 O がある。AB = AC = 5cm、BC = 8cm のとき、半円 O の半径を小数で求めよ。

2. 解き方の手順

まず、二等辺三角形 ABC の頂点 A から辺 BC に垂線を下ろし、交点を M とする。

このとき、M は BC の中点であるから、BM = MC = 4cm となる。

三角形 ABM は直角三角形であるから、三平方の定理より、

$AM^2 + BM^2 = AB^2$

$AM^2 + 4^2 = 5^2$

$AM^2 + 16 = 25$

$AM^2 = 9$

$AM = 3$

三角形 ABC の面積 S は、$S = \frac{1}{2} \times BC \times AM = \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 12 \text{ cm}^2$

次に、半円の半径を $r$ とする。

三角形 ABC の面積は、三角形 ABO, ACO, および半円 O の面積の和に等しい。

三角形 ABO の面積は $\frac{1}{2} \times AB \times r = \frac{1}{2} \times 5 \times r = \frac{5r}{2}$

三角形 ACO の面積は $\frac{1}{2} \times AC \times r = \frac{1}{2} \times 5 \times r = \frac{5r}{2}$

半円 O の面積は $\frac{1}{2} \pi r^2$

$S = \frac{5r}{2} + \frac{5r}{2} + \frac{1}{2} \times BC \times r$

$S = 5r + 4r = 9r$

三角形 ABC の面積 = $\frac{1}{2} \times 5 \times r + \frac{1}{2} \times 5 \times r + \frac{1}{2} \times 8 \times r$

三角形 ABC の面積 $S = \frac{5r}{2} + \frac{5r}{2} + \frac{8r}{2} = \frac{18r}{2} = 9r$

三角形 ABC の面積は12 cm$^2$なので、$12 = 9r$

よって、$r = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} = 1.333...$

三角形ABCの面積は $12 \text{ cm}^2$ である．

また，三角形ABCの面積は，三角形ABO, ACO と半円の面積の和に等しい．

したがって，

$12 = \frac{1}{2}\times 5 \times r + \frac{1}{2} \times 5 \times r + \frac{1}{2} \times 8 \times r$

$12 = \frac{5r}{2} + \frac{5r}{2} + 4r = 5r + 4r = 9r$

$r = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \approx 1.333$

$r \approx 1.3$

3. 最終的な答え

$r = \frac{4}{3}$