与えられた8つの式を因数分解する。

はい、承知いたしました。問題の因数分解を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた8つの式を因数分解する。

2. 解き方の手順

(1) $2ax^2 - 8a$

共通因数 $2a$ でくくります。

$2a(x^2 - 4)$

さらに、$x^2 - 4$ を $(x-2)(x+2)$ と因数分解します。

$2a(x-2)(x+2)$

(2) $ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2$

項を並び替えます。

$ax^2 - bx^2 - ay^2 + by^2$

$x^2$ と $y^2$ でくくります。

$x^2(a-b) - y^2(a-b)$

$(a-b)$ でくくります。

$(a-b)(x^2 - y^2)$

さらに、$x^2 - y^2$ を $(x-y)(x+y)$ と因数分解します。

$(a-b)(x-y)(x+y)$

(3) $(x-4)(3x+1) + 10$

展開します。

$3x^2 + x - 12x - 4 + 10$

$3x^2 - 11x + 6$

因数分解します。

$(3x - 2)(x - 3)$

(4) $4n^3 + 6n^2 + 2n$

共通因数 $2n$ でくくります。

$2n(2n^2 + 3n + 1)$

$2n^2 + 3n + 1$ を因数分解します。

$2n(2n+1)(n+1)$

(5) $x^3 + x^2y - x^2 - y$

項を並び替えます。

$x^3 - x^2 + x^2y - y$

$x^2$ と $y$ でくくります。

$x^2(x - 1) + y(x^2 - 1)$

$x^2 - 1$ を $(x-1)(x+1)$ と因数分解します。

$x^2(x - 1) + y(x - 1)(x + 1)$

$(x - 1)$ でくくります。

$(x - 1)(x^2 + y(x + 1))$

$(x - 1)(x^2 + xy + y)$

(6) $4x^2 - y^2 - 2y - 1$

$4x^2 - (y^2 + 2y + 1)$

$y^2 + 2y + 1$ を $(y+1)^2$ と因数分解します。

$4x^2 - (y+1)^2$

$4x^2$ を $(2x)^2$ とします。

$(2x)^2 - (y+1)^2$

差の平方の公式を使います。

$(2x - (y+1))(2x + (y+1))$

$(2x - y - 1)(2x + y + 1)$

(7) $x^2 + 2ax - 3a^2 + 4x + 8a + 3$

$x^2 + (2a + 4)x - 3a^2 + 8a + 3$

定数項を因数分解します。

$-3a^2 + 8a + 3 = -(3a^2 - 8a - 3) = -(3a+1)(a-3)$

たすき掛けを使って因数分解します。

$(x + 3a + 1)(x - a + 3)$

(8) $2x^2 - xy - 3y^2 - 3x + 7y - 2$

$2x^2 + (-y-3)x - 3y^2 + 7y - 2$

$2x^2 + (-y-3)x - (3y-1)(y-2)$

たすき掛けを使って因数分解します。

$(2x-3y+1)(x+y-2)$

3. 最終的な答え

(1) $2a(x-2)(x+2)$

(2) $(a-b)(x-y)(x+y)$

(3) $(3x-2)(x-3)$

(4) $2n(2n+1)(n+1)$

(5) $(x-1)(x^2+xy+y)$

(6) $(2x-y-1)(2x+y+1)$

(7) $(x+3a+1)(x-a+3)$

(8) $(2x-3y+1)(x+y-2)$