2次方程式 $(-2a+15)x^2 - (4a-18)x + 3a^2 - 6a - 24 = 0$ が、$-2 < x < 0$ と $0 < x < 1$ の範囲にそれぞれ解を持つような実数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $(-2a+15)x^2 - (4a-18)x + 3a^2 - 6a - 24 = 0$ が、$-2 < x < 0$ と $0 < x < 1$ の範囲にそれぞれ解を持つような実数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = (-2a+15)x^2 - (4a-18)x + 3a^2 - 6a - 24$ とおく。

$f(x) = 0$ が $-2 < x < 0$ と $0 < x < 1$ にそれぞれ解を持つためには、次の条件を満たす必要がある。

(1) $-2a+15 \neq 0$ (2次方程式である条件)

(2) $f(-2)f(0) < 0$ ($-2 < x < 0$ に解を持つ条件)

(3) $f(0)f(1) < 0$ ($0 < x < 1$ に解を持つ条件)

(1) について、 $-2a + 15 \neq 0$ より $a \neq \frac{15}{2}$

(2) について、$f(-2) = (-2a+15)(-2)^2 - (4a-18)(-2) + 3a^2 - 6a - 24 = (-2a+15)4 + (4a-18)2 + 3a^2 - 6a - 24 = -8a + 60 + 8a - 36 + 3a^2 - 6a - 24 = 3a^2 - 6a$

$f(0) = 3a^2 - 6a - 24$

$f(-2)f(0) = (3a^2 - 6a)(3a^2 - 6a - 24) < 0$

$3a(a-2)3(a^2 - 2a - 8) < 0$

$9a(a-2)(a-4)(a+2) < 0$

$a(a-2)(a-4)(a+2) < 0$

$-2 < a < 0$ または $2 < a < 4$

(3) について、$f(1) = (-2a+15) - (4a-18) + 3a^2 - 6a - 24 = -2a + 15 - 4a + 18 + 3a^2 - 6a - 24 = 3a^2 - 12a + 9 = 3(a^2 - 4a + 3) = 3(a-1)(a-3)$

$f(0)f(1) = (3a^2 - 6a - 24)(3(a-1)(a-3)) < 0$

$9(a^2 - 2a - 8)(a-1)(a-3) < 0$

$(a-4)(a+2)(a-1)(a-3) < 0$

$-2 < a < 1$ または $3 < a < 4$

(1), (2), (3) の条件を満たす $a$ の範囲を求める。

(2) より $-2 < a < 0$ または $2 < a < 4$

(3) より $-2 < a < 1$ または $3 < a < 4$

よって、 $-2 < a < 0$ または $3 < a < 4$

さらに、$a \neq \frac{15}{2} = 7.5$ なので、$-2 < a < 0$ または $3 < a < 4$

3. 最終的な答え

$-2 < a < 0$ または $3 < a < 4$