与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を展開し、因数分解または整理することで、式を簡単にすることを試みます。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を展開し、因数分解または整理することで、式を簡単にすることを試みます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$ab(a+b) = a^2b + ab^2$

$bc(b+c) = b^2c + bc^2$

$ca(c+a) = c^2a + ca^2$

したがって、式は次のようになります。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

この式を並び替えて、次のようにします。

$a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 3abc$

ここで、式を因数分解することを考えます。

$(a+b)(b+c)(c+a)$ を展開すると、

$(a+b)(bc + c^2 + b^2 + bc) = (a+b)(b^2 + c^2 + 2bc) = (a+b)(b+c)^2 = ab^2 + 2abc + ac^2 + b^3 + 2b^2c + bc^2$

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab+ac+b^2+bc)(c+a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc$

よって、元の式は

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc = a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc + abc = (a+b)(b+c)(c+a) + abc$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc$