1000人の生徒の数学のテストの成績が、平均48点、標準偏差15点の正規分布に従うとき、80点以上90点以下の生徒の人数を求める問題です。

1. 問題の内容

1000人の生徒の数学のテストの成績が、平均48点、標準偏差15点の正規分布に従うとき、80点以上90点以下の生徒の人数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、80点と90点を標準化します。標準化とは、平均を0、標準偏差を1とするように変換することです。標準化された変数を $z$ とすると、

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

ここで、$x$ は元の変数の値、$\mu$ は平均、$\sigma$ は標準偏差です。

80点を標準化すると、

$z_1 = \frac{80 - 48}{15} = \frac{32}{15} \approx 2.13$

90点を標準化すると、

$z_2 = \frac{90 - 48}{15} = \frac{42}{15} = 2.8$

次に、標準正規分布表を用いて、$z_1 = 2.13$ および $z_2 = 2.8$ に対応する確率を求めます。標準正規分布表は通常、平均からの累積確率を示します。

$P(z < 2.13) \approx 0.9834$

$P(z < 2.8) \approx 0.9974$

80点以上90点以下の生徒の割合は、$P(2.13 < z < 2.8)$ であり、$P(z < 2.8) - P(z < 2.13)$ で計算できます。

$P(2.13 < z < 2.8) = 0.9974 - 0.9834 = 0.014$

したがって、80点以上90点以下の生徒の割合は0.014です。生徒の総数は1000人なので、80点以上90点以下の生徒の人数は、

$1000 \times 0.014 = 14$ 人

3. 最終的な答え

14人