問題は以下の2つです。 (1) 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3 の7個の数字全てを使ってできる7桁の整数は何個あるか。 (2) monotone という単語の8個の文字全てを使ってできる文字列は何通りあるか。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3 の7個の数字全てを使ってできる7桁の整数は何個あるか。

(2) monotone という単語の8個の文字全てを使ってできる文字列は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 7桁の整数の個数を求めます。

7個の数字のうち、1が3個、2が2個、3が2個あります。

したがって、並べ方の総数は、同じものを含む順列の公式を用いて計算できます。

全体の並べ方の数は $\frac{7!}{3!2!2!}$ です。

(2) monotone という単語の8個の文字を使ってできる文字列の数を求めます。

monotone の文字は、m, o, n, o, t, o, n, e で、oが3個、nが2個です。

したがって、並べ方の総数は、同じものを含む順列の公式を用いて計算できます。

全体の並べ方の数は $\frac{8!}{3!2!}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7!}{3!2!2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{5040}{24} = 210$ 個

(2) $\frac{8!}{3!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{40320}{12} = 3360$ 通り

答え：

(1) 210個

(2) 3360通り