与えられた数列の極限を調べます。数列の第n項はそれぞれ以下の式で表されます。 (1) $3^n$ (2) $2 - \frac{n}{3}$ (3) $\frac{n^2}{2} - 1$ (4) $2 - \sqrt{n}$ (5) $4 + (-1)^n$ (6) $\sin(n\pi)$ (7) $\cos(n\pi)$ (8) $\tan(n\pi)$

1. 問題の内容

与えられた数列の極限を調べます。数列の第n項はそれぞれ以下の式で表されます。

(1) $3^n$

(2) $2 - \frac{n}{3}$

(3) $\frac{n^2}{2} - 1$

(4) $2 - \sqrt{n}$

(5) $4 + (-1)^n$

(6) $\sin(n\pi)$

(7) $\cos(n\pi)$

(8) $\tan(n\pi)$

2. 解き方の手順

各数列について、$n$ を無限大に近づけたときの挙動を調べます。

(1) $3^n$: $n$ が大きくなるにつれて、$3^n$ も大きくなるので、正の無限大に発散します。

(2) $2 - \frac{n}{3}$: $n$ が大きくなるにつれて、$\frac{n}{3}$ も大きくなるので、$2 - \frac{n}{3}$ は負の無限大に発散します。

(3) $\frac{n^2}{2} - 1$: $n$ が大きくなるにつれて、$n^2$ も大きくなるので、$\frac{n^2}{2} - 1$ は正の無限大に発散します。

(4) $2 - \sqrt{n}$: $n$ が大きくなるにつれて、$\sqrt{n}$ も大きくなるので、$2 - \sqrt{n}$ は負の無限大に発散します。

(5) $4 + (-1)^n$: $n$ が偶数のとき、$4 + (-1)^n = 4 + 1 = 5$ です。$n$ が奇数のとき、$4 + (-1)^n = 4 - 1 = 3$ です。したがって、$n$ が大きくなるにつれて、5 と 3 が交互に現れるので、極限は存在しません（振動します）。

(6) $\sin(n\pi)$: $n$ が整数のとき、$\sin(n\pi) = 0$ です。したがって、極限は 0 です。

(7) $\cos(n\pi)$: $n$ が偶数のとき、$\cos(n\pi) = 1$ です。$n$ が奇数のとき、$\cos(n\pi) = -1$ です。したがって、$n$ が大きくなるにつれて、1 と -1 が交互に現れるので、極限は存在しません（振動します）。

(8) $\tan(n\pi)$: $n$ が整数のとき、$\tan(n\pi) = 0$ です。したがって、極限は 0 です。

3. 最終的な答え

(1) 正の無限大に発散

(2) 負の無限大に発散

(3) 正の無限大に発散

(4) 負の無限大に発散

(5) 極限は存在しない（振動）

(6) 0

(7) 極限は存在しない（振動）

(8) 0