全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、 $n(U) = 40$, $n(A) = 18$, $n(B) = 25$, $n(A \cap B) = 6$ であるとき、以下の個数を求めよ。 (1) $n(\overline{B})$ (2) $n(A \cup B)$ (3) $n(A \cap \overline{B})$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、 $n(U) = 40$, $n(A) = 18$, $n(B) = 25$, $n(A \cap B) = 6$ であるとき、以下の個数を求めよ。

(1) $n(\overline{B})$

(2) $n(A \cup B)$

(3) $n(A \cap \overline{B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(\overline{B})$ を求める。

$\overline{B}$ は $B$ の補集合なので、$n(\overline{B}) = n(U) - n(B)$ で計算できる。

$n(U) = 40$, $n(B) = 25$ を代入すると、

$n(\overline{B}) = 40 - 25 = 15$

(2) $n(A \cup B)$ を求める。

和集合の要素数は、以下の式で求めることができる。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A) = 18$, $n(B) = 25$, $n(A \cap B) = 6$ を代入すると、

$n(A \cup B) = 18 + 25 - 6 = 37$

(3) $n(A \cap \overline{B})$ を求める。

$A \cap \overline{B}$ は、$A$ に含まれて、$B$ に含まれない要素の集合である。

$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$ で計算できる。

$n(A) = 18$, $n(A \cap B) = 6$ を代入すると、

$n(A \cap \overline{B}) = 18 - 6 = 12$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{B}) = 15$

(2) $n(A \cup B) = 37$

(3) $n(A \cap \overline{B}) = 12$