全体集合$U$を15以下の自然数全体の集合とし、$U$の部分集合$A = \{1, 2, 4, 7, 8, 9, 12, 15\}$、$B = \{1, 4, 6, 7, 9\}$とする。 以下の個数を求めよ。 (1) $n(A \cap B)$ (2) $n(A \cup B)$ (3) $n(\overline{B})$ (4) $n(\overline{A \cup B})$ (5) $n(A \cap \overline{B})$ (6) $n(\overline{A \cap B})$

1. 問題の内容

全体集合$U$を15以下の自然数全体の集合とし、$U$の部分集合$A = \{1, 2, 4, 7, 8, 9, 12, 15\}$、$B = \{1, 4, 6, 7, 9\}$とする。

以下の個数を求めよ。

(1) $n(A \cap B)$

(2) $n(A \cup B)$

(3) $n(\overline{B})$

(4) $n(\overline{A \cup B})$

(5) $n(A \cap \overline{B})$

(6) $n(\overline{A \cap B})$

2. 解き方の手順

まず、与えられた集合から、$A \cap B$、$A \cup B$、$\overline{B}$、$\overline{A \cup B}$、$A \cap \overline{B}$、$\overline{A \cap B}$ を求める。

ここで、$\overline{B}$は$U$における$B$の補集合を表す。つまり、$U$に属するが$B$に属さない要素の集合である。

$A \cap B = \{1, 4, 7, 9\}$

$n(A \cap B) = 4$

$A \cup B = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 15\}$

$n(A \cup B) = 9$

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}$

$\overline{B} = U - B = \{2, 3, 5, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}$

$n(\overline{B}) = 10$

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{3, 5, 10, 11, 13, 14\}$

$n(\overline{A \cup B}) = 6$

$A \cap \overline{B} = A - B = \{2, 8, 12, 15\}$

$n(A \cap \overline{B}) = 4$

$\overline{A \cap B} = U - (A \cap B) = \{2, 3, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}$

$n(\overline{A \cap B}) = 11$

3. 最終的な答え

(1) $n(A \cap B) = 4$

(2) $n(A \cup B) = 9$

(3) $n(\overline{B}) = 10$

(4) $n(\overline{A \cup B}) = 6$

(5) $n(A \cap \overline{B}) = 4$

(6) $n(\overline{A \cap B}) = 11$