問題は2つあります。 (3) 図において、点Pから点Qへ行く最短経路の総数を求める。 (4) (3)の最短経路のうち、線分RSを通る経路の数を求める。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(3) 図において、点Pから点Qへ行く最短経路の総数を求める。

(4) (3)の最短経路のうち、線分RSを通る経路の数を求める。

2. 解き方の手順

(3) PからQへの最短経路を求める。

PからQへは、右に5マス、下に3マス進む必要がある。したがって、合計8マスの移動のうち、右への移動が5回、下への移動が3回となる。これは同じものを含む順列の問題として考えることができる。

最短経路の総数は、

$\frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

(4) PからRを通ってSを通りQへ行く最短経路を求める。

PからRへは、右に1マス、下に1マス進む必要がある。したがって、

経路の総数は、

$\frac{2!}{1!1!} = 2$

RからSへは、右に1マス進む必要がある。経路は1つ。

SからQへは、右に3マス、下に2マス進む必要がある。したがって、

経路の総数は、

$\frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

よって、PからRを通ってSを通りQへ行く最短経路は、

$2 \times 1 \times 10 = 20$

3. 最終的な答え

(3) PからQへの最短経路は56通り

(4) RS間を通る最短経路は20通り