与えられた図において、点Pから点Qへの最短経路の総数を求め、そのうち点Rと点Sの間を通過する経路の数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた図において、点Pから点Qへの最短経路の総数を求め、そのうち点Rと点Sの間を通過する経路の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(3) PからQへの最短経路の総数を求めます。

PからQへは右に5マス、下に3マス移動する必要があります。したがって、合計8回の移動のうち、右への移動が5回、下への移動が3回です。これは、8回の移動の中から右への移動5回を選ぶ組み合わせの数に等しくなります。

組み合わせの総数は ${8 \choose 5}$ で計算できます。

${8 \choose 5} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

したがって、PからQへの最短経路は56通りです。

(4) PからQへの最短経路のうち、RとSの間を通る経路の数を求めます。

PからRへの最短経路、RからSへの最短経路、SからQへの最短経路をそれぞれ求め、それらを掛け合わせます。

PからRへは右に2マス、下に1マス移動する必要があります。

PからRへの経路数は ${3 \choose 2} = \frac{3!}{2!1!} = 3$ 通り。

RからSへは右に1マス移動する必要があります。

RからSへの経路数は1通り。

SからQへは右に2マス、下に2マス移動する必要があります。

SからQへの経路数は ${4 \choose 2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。

したがって、RとSの間を通るPからQへの最短経路は $3 \times 1 \times 6 = 18$ 通りです。

3. 最終的な答え

(3) PからQへの最短経路は 56 通り。

(4) RS間を通る最短経路は 18 通り。